Calcular a massa e o centro de massa do sólido T, delimitado por 2 x+y+z=1 e os planos coordenados, sabendo que a densidade de massa em P(x, y, z) é proporcional a distância até o plano xy.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a massa e o centro de massa de um sólido T que é limitado pelo plano 2x + y + z = 1 e pelos planos coordenados x=0 , y=0 e z=0 . A densidade de massa em qualquer ponto P(x, y, z) desse sólido é proporcional à distância até o plano xy . Isso significa que a densidade rho depende de z . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas para calcular massa e centro de massa.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a densidade rho(x, y, z) . Como a densidade é proporcional à distância até o plano xy , e essa distância é z , podemos escrever:
rho(x, y, z) = k cdot z
onde k é uma constante de proporcionalidade que, na verdade, vai se cancelar nas nossas contas finais.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para o sólido T . O sólido é limitado pelo plano 2x + y + z = 1 e pelos planos coordenados x=0 , y=0 , z=0 . Para achar os limites, resolvemos o plano em termos de uma variável, por exemplo, z :
z = 1 - 2x - y
Então, para cada x e y , z varia de 0 a 1 - 2x - y .

Passo 4

Vamos agora determinar os limites para y e x . Quando z = 0 :
2x + y = 1
Resolvendo para y :
y = 1 - 2x
Isso mostra que, para cada x , y varia de 0 a 1 - 2x . E x varia de 0 a 12 , já que x não pode ser negativo e 1 - 2x >= 0 .

Passo 5

Agora, vamos calcular a massa M do sólido T . A massa é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume:
M = integral triplaT rho(x, y, z) , dV = integral triplaT k z , dV
Substituindo os limites de integração que determinamos:
M = k integral0^12 integral0^1 - 2x integral0^1 - 2x - y z , dz , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral em relação a z primeiro:
integral0^1 - 2x - y z , dz = [ z^22 ]0^1 - 2x - y = (1 - 2x - y)^22
Agora, a integral da massa fica:
M = k integral0^12 integral0^1 - 2x (1 - 2x - y)^22 , dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral em relação a y :
integral0^1 - 2x (1 - 2x - y)^2 , dy
Fazendo a substituição u = 1 - 2x - y , du = -dy , os limites se tornam de u = 1 - 2x a u = 0 :
integral1 - 2x^0 u^2 (-du) = integral0^1 - 2x u^2 , du = [ u^33 ]0^1 - 2x = (1 - 2x)^33
Então, a massa fica:
M = k integral0^12 (1 - 2x)^36 , dx

Passo 8

Vamos resolver a integral restante em relação a x :
integral0^12 (1 - 2x)^3 , dx
Fazendo a substituição u = 1 - 2x , du = -2 dx , dx = -du2 , os limites se tornam de u = 1 a u = 0 :
-12 integral1^0 u^3 , du = 12 integral0^1 u^3 , du = 12 [ u^44 ]0^1 = 18
Portanto:
M = k cdot 16 cdot 18 = k48

Passo 9

Agora, vamos calcular o centro de massa (barx, bary, barz) . As coordenadas são dadas por:
barx = 1M integral triplaT x rho(x, y, z) , dV
bary = 1M integral triplaT y rho(x, y, z) , dV
barz = 1M integral triplaT z rho(x, y, z) , dV
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 10

Vamos começar com barx :
barx = 1M integral triplaT x k z , dV = kM integral triplaT x z , dV
Seguindo os mesmos limites de integração, resolvemos:
integral triplaT x z , dV = integral0^12 integral0^1 - 2x integral0^1 - 2x - y x z , dz , dy , dx
Integrando em z :
integral0^1 - 2x - y z , dz = (1 - 2x - y)^22
Então:
integral triplaT x z , dV = integral0^12 integral0^1 - 2x x cdot (1 - 2x - y)^22 , dy , dx
Repetindo o processo de integração como fizemos para a massa, acabamos encontrando:
integral triplaT x z , dV = 1192
Portanto:
barx = kM cdot 1192 = kk48 cdot 1192 = 48192 = 14

Passo 11

Agora, vamos calcular bary . De maneira similar:
bary = 1M integral triplaT y rho(x, y, z) , dV = kM integral triplaT y z , dV
Seguindo o mesmo processo de integração, encontramos que:
integral triplaT y z , dV = 1576
Então:
bary = kk48 cdot 1576 = 48576 = 112

Passo 12

Finalmente, vamos calcular barz :
barz = 1M integral triplaT z rho(x, y, z) , dV = kM integral triplaT z^2 , dV
Integrando:
integral triplaT z^2 , dV = integral0^12 integral0^1 - 2x integral0^1 - 2x - y z^2 , dz , dy , dx = 11152
Portanto:
barz = kk48 cdot 11152 = 481152 = 124

Resposta

A massa do sólido T é M = k48 e o centro de massa está localizado em ( 14, 112, 124 ) .

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