Calcular a massa e o centro de massa do sólido
, delimitado por
e os planos coordenados, sabendo que a densidade de massa em
é proporcional a distância até o plano xy.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a massa e o centro de massa de um sólido
que é limitado pelo plano
e pelos planos coordenados
,
e
. A densidade de massa em qualquer ponto
desse sólido é proporcional à distância até o plano
. Isso significa que a densidade
depende de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas para calcular massa e centro de massa.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a densidade
. Como a densidade é proporcional à distância até o plano
, e essa distância é
, podemos escrever:
onde
é uma constante de proporcionalidade que, na verdade, vai se cancelar nas nossas contas finais.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para o sólido
. O sólido é limitado pelo plano
e pelos planos coordenados
,
,
. Para achar os limites, resolvemos o plano em termos de uma variável, por exemplo,
:
Então, para cada
e
,
varia de
a
.
Passo 4
Vamos agora determinar os limites para
e
. Quando
:
Resolvendo para
:
Isso mostra que, para cada
,
varia de
a
. E
varia de
a
, já que
não pode ser negativo e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a massa
do sólido
. A massa é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume:
Substituindo os limites de integração que determinamos:
Passo 6
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro:
Agora, a integral da massa fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, os limites se tornam de
a
:
Então, a massa fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral restante em relação a
:
Fazendo a substituição
,
,
, os limites se tornam de
a
:
Portanto:
Passo 9
Agora, vamos calcular o centro de massa
. As coordenadas são dadas por:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 10
Vamos começar com
:
Seguindo os mesmos limites de integração, resolvemos:
Integrando em
:
Então:
Repetindo o processo de integração como fizemos para a massa, acabamos encontrando:
Portanto:
Passo 11
Agora, vamos calcular
. De maneira similar:
Seguindo o mesmo processo de integração, encontramos que:
Então:
Passo 12
Finalmente, vamos calcular
:
Integrando:
Portanto:
Resposta
A massa do sólido
é
e o centro de massa está localizado em
.