Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a integral:
Esse problema está relacionado ao cálculo integral, especificamente em técnicas de substituição e manipulação de exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões exponenciais e aplicar a substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração:
. Sabemos que
, então podemos reescrever
da seguinte forma:
Agora, vamos substituir isso de volta na integral:
Passo 3
Observando a expressão, vemos que
aparece tanto no numerador quanto no denominador. Vamos simplificar dividindo o numerador e o denominador por
:
Então, a integral fica mais simples assim:
Passo 4
Agora, vamos usar uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar
. Para encontrar
, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral
usando frações parciais. Podemos quebrar a fração assim:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para
e
:
- Se
, então - Se
, então
Então, a fração fica:
Passo 7
Voltando à integral:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Simplificando os logaritmos:
Passo 9
Por fim, simplificamos a expressão:
Resposta
A integral é igual a: