integral(10^5 x1+20^5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a integral:
integral (10^5x1 + 20^5x) dx
Esse problema está relacionado ao cálculo integral, especificamente em técnicas de substituição e manipulação de exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões exponenciais e aplicar a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: 1 + 20^5x. Sabemos que 20 = 2 times 10, então podemos reescrever 20^5x da seguinte forma:
20^5x = (2 times 10)^5x = 2^5x times 10^5x
Agora, vamos substituir isso de volta na integral:
integral (10^5x1 + 2^5x times 10^5x) dx

Passo 3

Observando a expressão, vemos que 10^5x aparece tanto no numerador quanto no denominador. Vamos simplificar dividindo o numerador e o denominador por 10^5x:
10^5x1 + 2^5x times 10^5x = 1110^5x + 2^5x = 11 + 2^5x
Então, a integral fica mais simples assim:
integral 11 + 2^5x dx

Passo 4

Agora, vamos usar uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar t = 2^5x. Para encontrar dt, derivamos t em relação a x:
dtdx = 5 ln 2 times 2^5x Rightarrow dx = dt5 ln 2 times t

Passo 5

Substituindo t e dx na integral, temos:
integral 11 + t times 15 ln 2 times t dt = 15 ln 2 integral (1t(1 + t)) dt

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral 1t(1 + t) dt usando frações parciais. Podemos quebrar a fração assim:
1t(1 + t) = At + B1 + t
Multiplicando ambos os lados por t(1 + t):
1 = A(1 + t) + Bt
Resolvendo para A e B:
  • Se t = 0, então 1 = A Rightarrow A = 1
  • Se t = -1, então 1 = -B Rightarrow B = -1
Então, a fração fica:
1t(1 + t) = 1t - 11 + t

Passo 7

Voltando à integral:
15 ln 2 integral (1t - 11 + t) dt = 15 ln 2 ( ln|t| - ln|1 + t| ) + C

Passo 8

Agora, substituímos t = 2^5x de volta na expressão:
15 ln 2 ( ln(2^5x) - ln(1 + 2^5x) ) + C
Simplificando os logaritmos:
15 ln 2 (5x ln 2 - ln(1 + 2^5x)) + C

Passo 9

Por fim, simplificamos a expressão:
x - 15 ln 2 ln(1 + 2^5x) + C

Resposta

A integral é igual a:
x - 15 ln 2 ln(1 + 2^5x) + C

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