integral x^2 cdot raizx^3-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^2 cdot raizx^3-2 , dx. Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais, usando a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição inteligente para facilitar a integral. Observando a expressão dentro da raiz, x^3 - 2, parece uma boa candidata para substituição. Vamos definir:
u = x^3 - 2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o diferencial dx na integral. Calculando:
dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 , dx
Isso significa que:
x^2 , dx = du3

Passo 4

Vamos substituir u = x^3 - 2 e x^2 , dx = du3 na integral original:
integral x^2 cdot raizx^3-2 , dx = integral raizu cdot du3 = 13 integral u^1/2 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^1/2 em relação a u. A regra da potência para integrais diz que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aqui, n = 12, então:
13 integral u^1/2 , du = 13 cdot u^3/23/2 + C = 29 u^3/2 + C

Passo 6

Finalmente, vamos voltar à variável original substituindo u = x^3 - 2:
29 (x^3 - 2)^3/2 + C

Resposta

A integral integral x^2 cdot raizx^3-2 , dx é igual a 29 (x^3 - 2)^3/2 + C.

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