Calcular I=integralegral triplaT(x^2+y^2) d V, onde T é a região delimitada pelo plano x y, pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo cilindro x^2+y^2=a^2.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para calcular a integral tripla I = integral triplaT (x^2 + y^2) dV , onde T é a região delimitada pelo plano xy , pelo paraboloide z = x^2 + y^2 e pelo cilindro x^2 + y^2 = a^2 . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente coordenadas cilíndricas, porque a simetria do problema facilita bastante esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região T que estamos integrando. O plano xy é basicamente z = 0 . O paraboloide z = x^2 + y^2 abre para cima, e o cilindro x^2 + y^2 = a^2 é um cilindro circular com raio a . Então, T é a parte do paraboloide que está acima do plano xy e dentro do cilindro de raio a .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta
y = r sin theta
z = z
E o elemento de volume dV vira r , dr , dtheta , dz . Também, o termo x^2 + y^2 se transforma em r^2 . Então, nossa integral fica:
I = integral triplaT r^2 cdot r , dz , dr , dtheta = integral triplaT r^3 , dz , dr , dtheta

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração.
  • O raio r vai de 0 até a (o raio do cilindro).
  • O ângulo theta completa uma volta completa, ou seja, de 0 a 2pi .
  • A altura z vai do plano xy (onde z = 0 ) até o paraboloide z = r^2 .
Então, a integral fica:
I = integral0^2pi integral0^a integral0^r^2 r^3 , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a z . Como r^3 é constante em relação a z , temos:
integral0^r^2 r^3 , dz = r^3 cdot z |0^r^2 = r^3 cdot r^2 = r^5
Agora, a integral fica:
I = integral0^2pi integral0^a r^5 , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar agora em relação a r :
integral0^a r^5 , dr = r^66 |0^a = a^66
Substituindo na integral:
I = integral0^2pi a^66 , dtheta

Passo 7

Por fim, vamos integrar em relação a theta :
integral0^2pi a^66 , dtheta = a^66 cdot theta |0^2pi = a^66 cdot 2pi = pi a^63

Resposta

Portanto, o valor da integral tripla é I = dfracpi a^63 .

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