Calcular , onde é a região delimitada pelo plano , pelo paraboloide e pelo cilindro .
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para calcular a integral tripla , onde é a região delimitada pelo plano , pelo paraboloide e pelo cilindro . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente coordenadas cilíndricas, porque a simetria do problema facilita bastante esse método.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos integrando. O plano é basicamente . O paraboloide abre para cima, e o cilindro é um cilindro circular com raio . Então, é a parte do paraboloide que está acima do plano e dentro do cilindro de raio .
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume vira . Também, o termo se transforma em . Então, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração.
O raio vai de 0 até (o raio do cilindro).
O ângulo completa uma volta completa, ou seja, de 0 a .
A altura vai do plano (onde ) até o paraboloide .
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar primeiro em relação a . Como é constante em relação a , temos: