Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelo cilindro x^2 +y^2=9 e pelos planos z=2 e z=4, sabendo que a densidade de massa é igual a(x^2+y^2) kg / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z de um sólido definido por um cilindro e dois planos. Aqui estão os dados:
  • Cilindro: x^2 + y^2 = 9
  • Planos: z = 2 e z = 4
  • Densidade de massa: rho = a(x^2 + y^2) kg/m³
Para resolver isso, vamos usar cálculo em coordenadas cilíndricas e entender um pouco sobre o momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para o eixo z, a fórmula geral é:
Iz = integral triplaV (x^2 + y^2) rho(x, y, z) , dV
Aqui, rho(x, y, z) é a densidade de massa, e dV é um elemento de volume.

Passo 3

Como a densidade é dada por rho = a(x^2 + y^2), podemos substituir isso na fórmula do momento de inércia:
Iz = integral triplaV (x^2 + y^2) cdot a(x^2 + y^2) , dV = a integral triplaV (x^2 + y^2)^2 , dV

Passo 4

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque o sólido é um cilindro, e isso vai facilitar os cálculos. Nas coordenadas cilíndricas:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume dV fica:
dV = r , dr , dtheta , dz
Também, x^2 + y^2 = r^2.

Passo 5

Substituindo tudo isso na nossa expressão para Iz:
Iz = a integral triplaV r^4 cdot r , dr , dtheta , dz = a integral triplaV r^5 , dr , dtheta , dz

Passo 6

Vamos definir os limites de integração:
  • r varia de 0 a 3 (já que x^2 + y^2 = 9 implica r = 3)
  • theta varia de 0 a 2pi (uma volta completa)
  • z varia de 2 a 4
Então, a integral fica:
Iz = a integral2^4 integral0^3 integral0^2pi r^5 , dtheta , dr , dz

Passo 7

Vamos resolver a integral em theta primeiro:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Agora, a expressão fica:
Iz = a cdot 2pi integral2^4 integral0^3 r^5 , dr , dz

Passo 8

Agora, integramos em r:
integral0^3 r^5 , dr = [ r^66 ]0^3 = 3^66 - 0 = 7296 = 121.5
Então, agora temos:
Iz = a cdot 2pi cdot 121.5 integral2^4 dz

Passo 9

Por fim, integramos em z:
integral2^4 dz = 4 - 2 = 2
Então, substituindo tudo:
Iz = a cdot 2pi cdot 121.5 cdot 2 = a cdot 2pi cdot 243 = a cdot 486pi

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo z é Iz = 486,pi,a kg·m².

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