Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo
do sólido delimitado pelo cilindro
e pelos planos
e
, sabendo que a densidade de massa é igual
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z de um sólido definido por um cilindro e dois planos. Aqui estão os dados:
- Cilindro:
- Planos:
e - Densidade de massa:
kg/m³
Para resolver isso, vamos usar cálculo em coordenadas cilíndricas e entender um pouco sobre o momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para o eixo z, a fórmula geral é:
Aqui,
é a densidade de massa, e
é um elemento de volume.
Passo 3
Como a densidade é dada por
, podemos substituir isso na fórmula do momento de inércia:
Passo 4
Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque o sólido é um cilindro, e isso vai facilitar os cálculos. Nas coordenadas cilíndricas:
E o elemento de volume
fica:
Também,
.
Passo 5
Substituindo tudo isso na nossa expressão para
:
Passo 6
Vamos definir os limites de integração:
-
varia de 0 a 3 (já que implica ) -
varia de 0 a (uma volta completa) -
varia de 2 a 4
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Agora, a expressão fica:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Então, agora temos:
Passo 9
Por fim, integramos em
:
Então, substituindo tudo:
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo
é
kg·m².