Calcular a massa de um fio delgado que tem a forma da hélice r(t)=2 cos (t) i+2 sen(t) j+5 t k, 0 <= t <= 2 pi se a densidade no ponto (x, y, z) é x^2+y^2+z^2.
Assinale a alternativa correta:
a. raiz29(8 pi+203 pi^3) unidades de massa
b. raiz29(8 pi-203 pi^3) unidades de massa
c. raiz29(8 pi+205 pi^3) unidades de massa
d. raiz29(4 pi+203 pi^3) unidades de massa
Limpar minha escolha

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa de um fio parametrizado pela hélice vec r(t)=2cos t,vec i+2sen t,vec j+5t,vec k, com 0<= t<=2pi, sabendo que a densidade no ponto (x,y,z) é de<a(x,y,z)=x^2+y^2+z^2. O conteúdo é a integral de linha de densidade escalar e vamos precisar de de<a(vec r(t)) e do comprimento de arco |vec r,'(t)|.

Passo 2

Calculamos o vetor tangente e seu módulo:
vec r,'(t)=(-2sen t,,2cos t,,5)Rightarrow|vec r,'(t)|=raiz(-2sen t)^2+(2cos t)^2+5^2=raiz4+25=raiz29

Passo 3

Calculamos a densidade ao longo da curva:
de<a(vec r(t))=(2cos t)^2+(2sen t)^2+(5t)^2=4+25t^2

Passo 4

Montamos a integral para a massa:
m=integral0^2pide<a(vec r(t)),|vec r,'(t)|,dt=raiz29integral0^2pi(4+25t^2),dt

Passo 5

Fazendo a integral:
integral0^2pi(4+25t^2),dt=4cdot(2pi)+25cdot(2pi)^33=8pi+2003pi^3

Passo 6

Logo,
m=raiz29l(8pi+2003pi^3r)

Passo 7

Nenhuma das alternativas fornecidas coincide com esse resultado.

Resposta

Não há alternativa correta.

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