Determine o vetor gradiente para as seguintes funções, em seguida interprete geometricamente
;
Passo 1
O enunciado pede o vetor gradiente de
dada por
e em seguida a interpretação geométrica desse gradiente. O conteúdo envolve derivadas parciais em coordenadas cartesianas e o conceito de superfícies de nível.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
O vetor gradiente de
é formado por essas derivadas parciais:
Passo 4
Geometricamente, as superfícies de nível de
são esferas centradas na origem,
. O gradiente em cada ponto:
- Aponta na direção de máximo crescimento de
. - É normal (perpendicular) à esfera de nível que passa por esse ponto.
- Como
, ele é um vetor radial saindo do ponto em direção ao exterior da esfera. - Sua norma é
, ou seja, cresce linearmente com a distância ao centro.
Resposta
que geometricamente é um vetor radial, normal às esferas de nível
, apontando para fora.