Determine o vetor gradiente para as seguintes funções, em seguida interprete geometricamente
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2;

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de fcolonR^3toR dada por
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
e em seguida a interpretação geométrica desse gradiente. O conteúdo envolve derivadas parciais em coordenadas cartesianas e o conceito de superfícies de nível.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x, partial fpartial y=2y, partial fpartial z=2z

Passo 3

O vetor gradiente de f é formado por essas derivadas parciais:
nabla f(x,y,z) = l(2x,;2y,;2zr)

Passo 4

Geometricamente, as superfícies de nível de f são esferas centradas na origem,
(x,y,z)mid x^2+y^2+z^2 = c. O gradiente em cada ponto:
  • Aponta na direção de máximo crescimento de f.
  • É normal (perpendicular) à esfera de nível que passa por esse ponto.
  • Como nabla f(x,y,z) = 2(x,y,z), ele é um vetor radial saindo do ponto (x,y,z) em direção ao exterior da esfera.
  • Sua norma é |nabla f| = 2raizx^2+y^2+z^2, ou seja, cresce linearmente com a distância ao centro.

Resposta

nabla f(x,y,z) = l(2x,;2y,;2zr),
que geometricamente é um vetor radial, normal às esferas de nível x^2+y^2+z^2=const, apontando para fora.

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