Questão 9 Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty 1+sen(n)10^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência absoluta da série
sumn=1^infty1+sen(n)10^n
usando testes de convergência (razão ou raiz). Vamos optar pelo teste da raiz, que costuma ser mais direto quando há um fator exponencial 10^-n.

Passo 2

No teste da raiz, definimos
L ;=;limsupntoinftyraiz[n]l|anr|,
onde an=(1+sen(n))/10^n. Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculemos
raiz[n]l|anr| = raiz[n]l|1+sen(n)r|10
Como sen(n) oscila entre -1 e 1, temos
0 <= |1+sen(n)| <= 2 Longrightarrow raiz[n]|1+sen(n)|;<=;raiz[n]2
E como limntoinftyraiz[n]2=1, concluímos
limsupntoinftyraiz[n]l|1+sen(n)r|=1

Passo 4

Portanto
L =limsupntoinftyraiz[n]|1+sen(n)|10 =110<1
Pelo teste da raiz, isso garante convergência absoluta da série.

Resposta

A série converge absolutamente.

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