Determine o vetor gradiente para as seguintes funções, em seguida interprete geometricamente
f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2.

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de f(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2 e depois uma interpretação geométrica. Vamos usar a definição de gradiente, que consiste em calcular as derivadas parciais em relação a x, y e z.

Passo 2

Para facilitar, note que podemos escrever
f(x,y,z) = (x^2+y^2+z^2)^1/2
Usamos a regra da cadeia para cada derivada parcial. Por exemplo, em relação a x:
partial fpartial x = 12(x^2+y^2+z^2)^-1/2cdot 2x = xraizx^2+y^2+z^2
Analogamente,
partial fpartial y = yraizx^2+y^2+z^2, partial fpartial z = zraizx^2+y^2+z^2
Portanto o gradiente é
nabla f(x,y,z) = l(xraizx^2+y^2+z^2,,yraizx^2+y^2+z^2,,zraizx^2+y^2+z^2r)

Passo 3

Geometricamente, f(x,y,z) mede a distância do ponto (x,y,z) à origem. O vetor gradiente aponta na direção de máximo crescimento de f, ou seja, radialmente para fora da origem. Além disso, como cada componente é a coordenada dividida pela sua distância ao centro, nabla f é justamente o vetor unitário na direção radial, perpendicular às esferas de nível x^2+y^2+z^2=constante.

Resposta

nabla f(x,y,z) = gl(xraizx^2+y^2+z^2,,yraizx^2+y^2+z^2,,zraizx^2+y^2+z^2gr),
que corresponde ao vetor unitário radial, normal às superfícies esféricas centradas na origem.

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