Determine o vetor gradiente para as seguintes funções, em seguida interprete geometricamente
.
Passo 1
O enunciado pede o vetor gradiente de
e depois uma interpretação geométrica. Vamos usar a definição de gradiente, que consiste em calcular as derivadas parciais em relação a
,
e
.
Passo 2
Para facilitar, note que podemos escrever
Usamos a regra da cadeia para cada derivada parcial. Por exemplo, em relação a
:
Analogamente,
Portanto o gradiente é
Passo 3
Geometricamente,
mede a distância do ponto
à origem. O vetor gradiente aponta na direção de máximo crescimento de
, ou seja, radialmente para fora da origem. Além disso, como cada componente é a coordenada dividida pela sua distância ao centro,
é justamente o vetor unitário na direção radial, perpendicular às esferas de nível
.
Resposta
que corresponde ao vetor unitário radial, normal às superfícies esféricas centradas na origem.