Calcular

Rx dxdy, sendo R a região delimitada por
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \displaystyle \iint_{R} x\,dx\,dy
onde R é a elipse dada por
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}\le1.
O conteúdo envolve integrais duplas e uso de simetria de região.

Passo 2

Observamos que a região
R=\bigl\{(x,y)\mid \tfrac{x^{2}}{4}+y^{2}\le1\bigr\}
é simétrica em relação ao eixo y: se (x,y)\in R, então (-x,y)\in R.

Passo 3

A função integranda f(x,y)=x satisfaz
f(-x,y) = -\,f(x,y),
ou seja, é ímpar em x. Em regiões simétricas em torno de x=0, a contribuição de x>0 cancela a de x<0. Logo,
\iint_{R}x\,dx\,dy = 0.

Resposta

0

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