Calcular a matriz dos cofactores e a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes:
a) [lll0 & 1 & 2 2 & 4 & 1 1 & 2 & 0]

Passo 1

O enunciado pede a matriz dos cofactores de
A = 0 & 1 & 2 2 & 4 & 1 1 & 2 & 0
e a matriz inversa A^-1.
Para isso vamos usar definição de menor, cofactor, determinante e adjunta.

Passo 2

Calcular o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) = 0cdot C11 + 1cdot C12 + 2cdot C13
Mas primeiro vamos achar C11,C12,C13 (cofactores) para usar acima e verificar o valor numérico de det(A).

Passo 3

Menores e cofactores da primeira linha:
M11 = det4 & 12 & 0 = 4cdot0 - 1cdot2 = -2, C11 = (+1),M11 = -2
M12 = det2 & 11 & 0 = 2cdot0 - 1cdot1 = -1, C12 = (-1),M12 = +1
M13 = det2 & 41 & 2 = 2cdot2 - 4cdot1 = 0, C13 = (+1),M13 = 0

Passo 4

Menores e cofactores da segunda linha:
M21 = det1 & 22 & 0 = 1cdot0 - 2cdot2 = -4, C21 = (-1),M21 = +4
M22 = det0 & 21 & 0 = 0cdot0 - 2cdot1 = -2, C22 = (+1),M22 = -2
M23 = det0 & 11 & 2 = 0cdot2 - 1cdot1 = -1, C23 = (-1),M23 = +1

Passo 5

Menores e cofactores da terceira linha:
M31 = det1 & 24 & 1 = 1cdot1 - 2cdot4 = -7, C31 = (+1),M31 = -7
M32 = det0 & 22 & 1 = 0cdot1 - 2cdot2 = -4, C32 = (-1),M32 = +4
M33 = det0 & 12 & 4 = 0cdot4 - 1cdot2 = -2, C33 = (+1),M33 = -2

Passo 6

Montamos a matriz dos cofactores C = (Cij):
C = -2 & 1 & 0 4 & -2 & 1 -7 & 4 & -2
Como det(A)=0cdot(-2)+1cdot1+2cdot0=1, a inversa existe e é dada por
A^-1 = 1det(A),adj(A) = adj(A) = C^T

Passo 7

Transpondo C obtemos a adjunta e, portanto, a inversa:
A^-1 = C^T = -2 & 4 & -7 1 & -2 & 4 0 & 1 & -2

Resposta

Matriz dos cofactores:
-2 & 1 & 0 4 & -2 & 1 -7 & 4 & -2
Matriz inversa:
-2 & 4 & -7 1 & -2 & 4 0 & 1 & -2

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