Determine a distância do ponto P(1,2,3) à reta que passa pela origem e é orientada pelo vetor d=(4,-2,1), utilizando o produto escalar.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P(1,2,3) à reta ell que passa pela origem e tem direção d=(4,-2,1). Usamos a ideia de projetar o vetor OP em d e subtrair de OP a parte paralela, ficando só a parte perpendicular. Em fórmula:
d(P,ell) =raiz|OP|^2-(OPcdot d)^2|d|^2

Passo 2

Calculamos o vetor OP e as normas:
OP=P-O=(1,2,3), |OP|=raiz1^2+2^2+3^2=raiz14, |d|=raiz4^2+(-2)^2+1^2=raiz21

Passo 3

Calculamos o produto escalar:
OPcdot d =1cdot4 + 2cdot(-2) + 3cdot1 =4 - 4 + 3 =3

Passo 4

Substituímos na fórmula da distância:
d(P,ell) =raiz14 ;-;3^221 =raiz14 - 921 =raiz14 - 37 =raiz98-37 =raiz957

Resposta

raiz957

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