Usar a regra de Cramer para resolver os sistemas de equações lineares:
b) l x+y=1 2 x+z=1 x+2 y+2 z=-1

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de três equações lineares em x, y e z:
x+y=1, 2x+z=1, x+2y+2z=-1
Queremos resolver esse sistema usando a regra de Cramer, que consiste em calcular determinantes da matriz dos coeficientes e versões dela com colunas substituídas pelos termos independentes.

Passo 2

Definimos a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos independentes b:
A= 1 & 1 & 0 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2
b= 1 1 -1
Pela regra de Cramer temos
x=dfracDxD,
y=dfracDyD e
z=dfracDzD,
onde D=det(A) e cada Di é o determinante de A com a i-ésima coluna substituída por b.

Passo 3

Calculamos primeiro
D=det 1 & 1 & 0 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 =1det0&12&2 -1det2&11&2 +0det2&01&2
Calculando os menores,
det0&12&2=0cdot2-1cdot2=-2
e
det2&11&2=2cdot2-1cdot1=3.
Logo,
D=1cdot(-2)-1cdot3+0=-2-3=-5

Passo 4

Agora cada determinante Di:
Dx (substitui a 1ª coluna por b):
Dx=det 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 -1 & 2 & 2 =1det0&12&2 -1det1&1-1&2 +0det1&0-1&2
Aqui det0&12&2=-2 e
det1&1-1&2=1cdot2-1cdot(-1)=3.
Logo
Dx=1cdot(-2)-1cdot3+0=-2-3=-5
Dy (substitui a 2ª coluna por b):
Dy=det 1 & 1 & 0 2 & 1 & 1 1 & -1 & 2 =1det1&1-1&2 -1det2&11&2 +0det2&11&-1
Aqui det1&1-1&2=3 e
det2&11&2=3.
Logo
Dy=1cdot3-1cdot3+0=0
Dz (substitui a 3ª coluna por b):
Dz=det 1 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & -1 =1det0&12&-1 -1det2&11&-1 +1det2&01&2
Aqui det0&12&-1=-2,
det2&11&-1=-3 e
det2&01&2=4.
Logo
Dz=1cdot(-2)-1cdot(-3)+1cdot4=-2+3+4=5

Passo 5

Aplicando a regra de Cramer:
x=DxD=-5-5=1, y=DyD=0-5=0, z=DzD=5-5=-1

Resposta

x=1, y=0, z=-1

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