Calcular a matriz dos cofactores e a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes:
b) [lll1 & 1 & 0 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2]

Passo 1

O enunciado pede, para a matriz
A = 1 & 1 & 0 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 ,
(a) calcular a matriz dos cofactores de A; (b) usar essa matriz e o determinante de A para obter A^-1. O conteúdo necessário envolve determinantes de menores, sinal de cofactor, adjunta (transposta da matriz de cofactores) e a fórmula
A^-1 = 1det(A),adj(A)

Passo 2

Calcular det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet0&12&2 -1cdotdet2&11&2 +0cdotl(cdotsr)
Aqui
det0&12&2=0cdot2-1cdot2=-2, det2&11&2=2cdot2-1cdot1=3,
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det(A)=1cdot(-2)-1cdot3=-2-3=-5

Passo 3

Para cada posição (i,j) de A calculamos o menor Mij (determinante da matriz obtida suprindo linha i e coluna j) e o cofactor
Cij=(-1)^i+jMij
Fazendo as contas, obtemos
C11&=(-1)^2det0&12&2=-2, &C12&=(-1)^3det2&11&2=-3, &C13&=(-1)^4det2&01&2=4, C21&=(-1)^3det1&02&2=-2, &C22&=(-1)^4det1&01&2=2, &C23&=(-1)^5det1&11&2=-1, C31&=(-1)^4det1&00&1=1, &C32&=(-1)^5det1&02&1=-1, &C33&=(-1)^6det1&12&0=-2
Assim a matriz dos cofactores é
Cof(A) = -2 & -3 & 4 -2 & 2 & -1 1 & -1 & -2

Passo 4

A adjunta de A é a transposta da matriz de cofactores:
adj(A) =l(Cof(A)r)^T = -2 & -2 & 1 -3 & 2 & -1 4 & -1 & -2
Pela fórmula da inversa,
A^-1=1det(A),adj(A) =1-5 -2 & -2 & 1 -3 & 2 & -1 4 & -1 & -2

Passo 5

Multiplicando cada entrada por tfrac1-5, obtemos
A^-1 = 25 & 25 & -15 35 & -25 & 15 -45 & 15 & 25

Resposta

Matriz dos cofactores:
-2 & -3 & 4 -2 & 2 & -1 1 & -1 & -2
Matriz inversa:
25 & 25 & -15 35 & -25 & 15 -45 & 15 & 25

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