Seja
tal que
é a transformação linear identidade. Mostre que
e
são linearmente dependentes se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear
que, quando aplicada duas vezes, volta a ser a identidade, ou seja,
. Nosso objetivo é mostrar que um vetor
e sua transformação
são linearmente dependentes se e somente se
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas vetores são linearmente dependentes. Dois vetores
e
são linearmente dependentes se existir um escalar
tal que
. No nosso caso, queremos que
seja um múltiplo escalar de
, ou seja,
.
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que aplicar
duas vezes em qualquer vetor retorna o vetor original:
. Se assumirmos que
, podemos substituir na equação:
Mas
, então:
Passo 4
Para que
seja verdadeiro para todo vetor
no espaço, devemos ter
. Resolvendo isso, obtemos
ou
. Portanto,
ou
.
Passo 5
Agora, vamos resumir o que mostramos:
- Se
é um múltiplo de , então necessariamente . - Além disso, se
, então claramente e são linearmente dependentes, já que um é um múltiplo do outro.
Resposta
Assim, mostramos que
e
são linearmente dependentes se e somente se
.