Seja T: V V tal que T circ T é a transformação linear identidade. Mostre que v e T(v) são linearmente dependentes se, e somente se, T(v)= pm v.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear T: V V que, quando aplicada duas vezes, volta a ser a identidade, ou seja, T circ T = Id . Nosso objetivo é mostrar que um vetor v e sua transformação T(v) são linearmente dependentes se e somente se T(v) = pm v .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas vetores são linearmente dependentes. Dois vetores v e w são linearmente dependentes se existir um escalar lambda tal que w = lambda v . No nosso caso, queremos que T(v) seja um múltiplo escalar de v , ou seja, T(v) = lambda v .

Passo 3

Sabemos que T circ T = Id . Isso significa que aplicar T duas vezes em qualquer vetor retorna o vetor original: T(T(v)) = v . Se assumirmos que T(v) = lambda v , podemos substituir na equação:
T(T(v)) = T(lambda v) = lambda T(v) = lambda (lambda v) = lambda^2 v
Mas T(T(v)) = v , então:
lambda^2 v = v

Passo 4

Para que lambda^2 v = v seja verdadeiro para todo vetor v no espaço, devemos ter lambda^2 = 1 . Resolvendo isso, obtemos lambda = 1 ou lambda = -1 . Portanto, T(v) = v ou T(v) = -v .

Passo 5

Agora, vamos resumir o que mostramos:
  • Se T(v) é um múltiplo de v , então necessariamente T(v) = pm v .
  • Além disso, se T(v) = pm v , então claramente v e T(v) são linearmente dependentes, já que um é um múltiplo do outro.

Resposta

Assim, mostramos que v e T(v) são linearmente dependentes se e somente se T(v) = pm v .

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