Considere em R^3 o conjunto S=(1,1,1),(0,1,1),(1,2,2).
a) Mostre que o vector (2,3,3) é combinação linear dos vectores S.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o vetor (2,3,3) é combinação linear dos vetores de
S=(1,1,1),(0,1,1),(1,2,2)
O conteúdo aqui é combinação linear em R^3: precisamos achar escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,(1,1,1);+;beta,(0,1,1);+;gamma,(1,2,2);=;(2,3,3)

Passo 2

Assumindo
alpha(1,1,1)+beta(0,1,1)+gamma(1,2,2)=(2,3,3),
igualamos coordenada a coordenada e obtemos o sistema
alpha+gamma=2, alpha+beta+2gamma=3, alpha+beta+2gamma=3
Note que a segunda e a terceira linhas são idênticas, ou seja, temos duas equações para três incógnitas.

Passo 3

Da primeira equação segue
gamma=2-alpha
Substituindo na segunda,
alpha+beta+2(2-alpha)=3 ;Longrightarrow; alpha+beta+4-2alpha=3 ;Longrightarrow; beta=alpha-1
Assim o conjunto de todas as soluções é
(alpha,beta,gamma)=(alpha,;alpha-1,;2-alpha),
com alpha livre.

Passo 4

Para obter uma combinação concreta, basta escolher um valor para alpha. Por exemplo, se alpha=1 então
beta=1-1=0, gamma=2-1=1
Logo
(2,3,3) =1cdot(1,1,1)+0cdot(0,1,1)+1cdot(1,2,2)

Resposta

(2,3,3)=1,(1,1,1)+0,(0,1,1)+1,(1,2,2)

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