Seja P: R^2 R^2 a transformação linear que leva o vetor à seu reflexo em relação a reta y=a x. Determine a matriz de P em relação à base canônica e mostre que P circ P=P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a matriz da transformação linear P que reflete um vetor em relação à reta y = a x no plano R^2. Além disso, precisamos mostrar que P circ P = P . Para isso, vamos precisar entender como funciona a reflexão em relação a uma reta e como representar isso matematicamente usando matrizes. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear que reflete vetores em relação a uma reta pode ser representada por uma matriz específica. No caso da reta y = a x , precisamos encontrar uma matriz que faça essa reflexão.
Para facilitar, vamos pensar no ângulo que a reta faz com o eixo x . Se a reta é y = a x , o ângulo theta é tal que tan theta = a . Então, podemos usar a fórmula da matriz de reflexão em relação a uma reta que forma um ângulo theta com o eixo x :
P = cos 2theta & sin 2theta sin 2theta & -cos 2theta
Mas antes de substituir theta , vamos expressar tudo em termos de a .

Passo 3

Sabemos que tan theta = a , então podemos usar as identidades trigonométricas para expressar cos 2theta e sin 2theta em termos de a .
Usando as fórmulas duplo ângulo:
cos 2theta = 1 - tan^2 theta1 + tan^2 theta = 1 - a^21 + a^2
sin 2theta = 2 tan theta1 + tan^2 theta = 2a1 + a^2
Agora, substituindo essas expressões na matriz P :
P = 1 - a^21 + a^2 & 2a1 + a^2 2a1 + a^2 & -1 - a^21 + a^2

Passo 4

Então, a matriz da transformação linear P que reflete um vetor em relação à reta y = a x na base canônica é:
P = 1 - a^21 + a^2 & 2a1 + a^2 2a1 + a^2 & -1 - a^21 + a^2

Passo 5

Agora, vamos mostrar que P circ P = P . Isso significa que aplicar a transformação P duas vezes é o mesmo que aplicar P uma vez. Vamos multiplicar a matriz P por ela mesma e ver o que acontece.
Vamos calcular P times P :
P times P = 1 - a^21 + a^2 & 2a1 + a^2 2a1 + a^2 & -1 - a^21 + a^2 times 1 - a^21 + a^2 & 2a1 + a^2 2a1 + a^2 & -1 - a^21 + a^2
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
  • Entrada (1,1):
(1 - a^21 + a^2)^2 + (2a1 + a^2)^2 = (1 - a^2)^2 + 4a^2(1 + a^2)^2
Simplificando o numerador:
(1 - a^2)^2 + 4a^2 = 1 - 2a^2 + a^4 + 4a^2 = 1 + 2a^2 + a^4 = (1 + a^2)^2
Então:
(1 + a^2)^2(1 + a^2)^2 = 1
  • Entrada (1,2):
1 - a^21 + a^2 times 2a1 + a^2 + 2a1 + a^2 times (-1 - a^21 + a^2) = 2a(1 - a^2)(1 + a^2)^2 - 2a(1 - a^2)(1 + a^2)^2 = 0
  • Entrada (2,1):
2a1 + a^2 times 1 - a^21 + a^2 + (-1 - a^21 + a^2) times 2a1 + a^2 = 2a(1 - a^2)(1 + a^2)^2 - 2a(1 - a^2)(1 + a^2)^2 = 0
  • Entrada (2,2):
2a1 + a^2 times 2a1 + a^2 + (-1 - a^21 + a^2)^2 = 4a^2(1 + a^2)^2 + (1 - a^2)^2(1 + a^2)^2 = 4a^2 + 1 - 2a^2 + a^4(1 + a^2)^2 = 1 + 2a^2 + a^4(1 + a^2)^2 = 1
Então, a matriz resultante é:
P times P = 1 & 0 0 & 1 = I

Resposta

A matriz de P na base canônica é:
P = 1 - a^21 + a^2 & 2a1 + a^2 2a1 + a^2 & -1 - a^21 + a^2
E ao compor P com ela mesma, temos P circ P = I , onde I é a matriz identidade.

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