Seja a transformação linear que leva o vetor à seu reflexo em relação a reta . Determine a matriz de em relação à base canônica e mostre que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a matriz da transformação linear que reflete um vetor em relação à reta no plano . Além disso, precisamos mostrar que . Para isso, vamos precisar entender como funciona a reflexão em relação a uma reta e como representar isso matematicamente usando matrizes. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear que reflete vetores em relação a uma reta pode ser representada por uma matriz específica. No caso da reta , precisamos encontrar uma matriz que faça essa reflexão.
Para facilitar, vamos pensar no ângulo que a reta faz com o eixo . Se a reta é , o ângulo é tal que . Então, podemos usar a fórmula da matriz de reflexão em relação a uma reta que forma um ângulo com o eixo :
Mas antes de substituir , vamos expressar tudo em termos de .
Passo 3
Sabemos que , então podemos usar as identidades trigonométricas para expressar e em termos de .
Usando as fórmulas duplo ângulo:
Agora, substituindo essas expressões na matriz :
Passo 4
Então, a matriz da transformação linear que reflete um vetor em relação à reta na base canônica é:
Passo 5
Agora, vamos mostrar que . Isso significa que aplicar a transformação duas vezes é o mesmo que aplicar uma vez. Vamos multiplicar a matriz por ela mesma e ver o que acontece.
Vamos calcular :
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante: