Considere um campo vetorial
, continuamente diferenciável no retângulo
tomando valores em
. Se denotarmos a linha poligonal contornante do retângulo
por
,
Explicar a sequência de igualdades da demonstração do Teorema de Green em um retângulo,
Explicar a sequência de igualdades da demonstração do Teorema de Green em um retângulo,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o Teorema de Green, que conecta integrais de linha ao redor de um retângulo com integrais duplas sobre a área desse retângulo. Vamos precisar entender vetores e derivadas parciais para resolver isso. Nosso campo vetorial é dado por
e estamos trabalhando no retângulo
.
Passo 2
Primeiro, a integral de linha ao redor da fronteira do retângulo
é dada por:
Isso representa a soma das componentes do campo vetorial ao longo do contorno do retângulo.
Passo 3
Vamos dividir essa integral em quatro partes, correspondendo aos quatro lados do retângulo:
- De
a mantendo : - De
a mantendo : - De
a mantendo : - De
a mantendo :
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar essas integrais. Nas integrais que vão de
a
e de
a
, vamos trocar os limites de integração, o que muda o sinal da integral:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 5
Vamos agrupar as integrais semelhantes:
Dessa forma, simplificamos a expressão dividindo-a em duas integrais distintas.
Passo 6
Agora, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para relacionar essas diferenças com derivadas parciais. Para a primeira integral:
E para a segunda integral:
Substituindo isso na expressão anterior:
Passo 7
Agora, juntamos as integrais duplas:
Isso nos leva à forma dupla da integral, que é o Teorema de Green.
Resposta
Portanto, a integral de linha ao redor do retângulo
é igual à integral dupla sobre
da diferença das derivadas parciais: