Considere um campo vetorial F(x, y)=(M(x, y), N(x, y)), continuamente diferenciável no retângulo R=[a, b] times[c, d] tomando valores em R^2. Se denotarmos a linha poligonal contornante do retângulo R por gamma,
Explicar a sequência de igualdades da demonstração do Teorema de Green em um retângulo,
ointgamma M(x, y) d x+N(x, y) d y=
integrala^b M(x, c) d x+integralc^d N(b, y) d y+integralb^a M(x, d) d x+integrald^c N(a, y) d y=
integrala^b[M(x, c)-M(x, d)] d x+integralc^d[N(b, y)-N(a, y)] d y=
integrala^b[M(x, c)-M(x, d)] d x-integralc^d[N(a, y)-N(b, y)] d y=
integrala^bintegrald^c partial M(x, y)partial y d y d x-integralc^dintegralb^a partial N(x, y)partial x d x d y=
-integrala^bintegralc^d partial M(x, y)partial y d y d x+integralc^dintegrala^b partial N(x, y)partial x d x d y=
integrala^bintegralc^d[partial N(x, y)partial x-partial M(x, y)partial y] d y d x=
integral duplaR[partial N(x, y)partial x-partial M(x, y)partial y] d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o Teorema de Green, que conecta integrais de linha ao redor de um retângulo com integrais duplas sobre a área desse retângulo. Vamos precisar entender vetores e derivadas parciais para resolver isso. Nosso campo vetorial é dado por F(x, y) = (M(x, y), N(x, y)) e estamos trabalhando no retângulo R = [a, b] times [c, d].

Passo 2

Primeiro, a integral de linha ao redor da fronteira do retângulo gamma é dada por:
ointgamma M(x, y) dx + N(x, y) dy
Isso representa a soma das componentes do campo vetorial ao longo do contorno do retângulo.

Passo 3

Vamos dividir essa integral em quatro partes, correspondendo aos quatro lados do retângulo:
  1. De a a b mantendo y = c: integrala^b M(x, c) dx
  2. De c a d mantendo x = b: integralc^d N(b, y) dy
  3. De b a a mantendo y = d: integralb^a M(x, d) dx
  4. De d a c mantendo x = a: integrald^c N(a, y) dy
Então, temos:
ointgamma M(x, y) dx + N(x, y) dy = integrala^b M(x, c) dx + integralc^d N(b, y) dy + integralb^a M(x, d) dx + integrald^c N(a, y) dy

Passo 4

Agora, vamos reorganizar essas integrais. Nas integrais que vão de b a a e de d a c, vamos trocar os limites de integração, o que muda o sinal da integral:
integralb^a M(x, d) dx = -integrala^b M(x, d) dx
integrald^c N(a, y) dy = -integralc^d N(a, y) dy
Substituindo na expressão anterior:
ointgamma M dx + N dy = integrala^b M(x, c) dx - integrala^b M(x, d) dx + integralc^d N(b, y) dy - integralc^d N(a, y) dy

Passo 5

Vamos agrupar as integrais semelhantes:
ointgamma M dx + N dy = integrala^b [M(x, c) - M(x, d)] dx + integralc^d [N(b, y) - N(a, y)] dy
Dessa forma, simplificamos a expressão dividindo-a em duas integrais distintas.

Passo 6

Agora, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para relacionar essas diferenças com derivadas parciais. Para a primeira integral:
M(x, c) - M(x, d) = integrald^c partial M(x, y)partial y dy = -integralc^d partial M(x, y)partial y dy
E para a segunda integral:
N(b, y) - N(a, y) = integrala^b partial N(x, y)partial x dx
Substituindo isso na expressão anterior:
ointgamma M dx + N dy = -integrala^b ( integralc^d partial Mpartial y dy ) dx + integralc^d ( integrala^b partial Npartial x dx ) dy

Passo 7

Agora, juntamos as integrais duplas:
ointgamma M dx + N dy = integrala^b integralc^d ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dy dx
Isso nos leva à forma dupla da integral, que é o Teorema de Green.

Resposta

Portanto, a integral de linha ao redor do retângulo R é igual à integral dupla sobre R da diferença das derivadas parciais:
ointgamma M dx + N dy = integral duplaR ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx dy

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