Calcular o módulo dos seguintes vetores em relação ao produto interno
\langle u, v\rangle=4 x_{1} y_{1}+ 4 y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}, sendo u=(x_{1}, y_{1}, z_{1}) e v=(x_{2}, y_{2}, z_{2}).
u=(3,-1,4)

Passo 1

O enunciado pede o módulo de u=(3,-1,4) no espaço com o produto interno \langle u,v\rangle=4x_{1}y_{1}+4y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.
O conteúdo aqui é norma induzida por produto interno, e vamos usar \|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}.

Passo 2

Aplicando a definição com v=u, temos
\langle u,u\rangle = 4x_{1}^{2} + 4y_{1}^{2} + z_{1}^{2}.

Passo 3

Substituindo u=(3,-1,4):
\langle u,u\rangle = 4\cdot3^{2} + 4\cdot(-1)^{2} + 4^{2} = 36 + 4 + 16 = 56.

Passo 4

Portanto, o módulo é
\|u\| = \sqrt{\langle u,u\rangle} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}.

Resposta

2\sqrt{14}

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