Calcular o módulo dos seguintes vetores em relação ao produto interno
\langle u, v\rangle=4 x_{1} y_{1}+ 4 y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}, sendo u=(x_{1}, y_{1}, z_{1}) e v=(x_{2}, y_{2}, z_{2}).
v=(-2,-5,-7)

Passo 1

O enunciado nos dá um produto interno em \mathbb{R}^3 definido por
\langle u,v\rangle = 4\,x_1x_2 + 4\,y_1y_2 + z_1z_2
e pede o módulo (norma) do vetor v=(-2,-5,-7).
Para calcular a norma usamos a definição
\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle}.

Passo 2

Aplicando a definição de produto interno ao próprio vetor v, temos
\langle v,v\rangle = 4\,x_2x_2 + 4\,y_2y_2 + z_2z_2
onde x_2=-2, y_2=-5 e z_2=-7. Logo,
\langle v,v\rangle = 4(-2)^2 + 4(-5)^2 + (-7)^2.

Passo 3

Calculando cada termo:
4(-2)^2 = 4\cdot4 = 16,\quad 4(-5)^2 = 4\cdot25 = 100,\quad (-7)^2 = 49.
Somando, obtemos
\langle v,v\rangle = 16 + 100 + 49 = 165
e portanto
\|v\| = \sqrt{165}.

Resposta

\|v\| = \sqrt{165}.

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