Encontre a equação vetorial e equações paramétricas em \mathbb{R}^{2} que passa pela origem e é paralela ao vetor \vec{v}=(-2,3).

Passo 1

O enunciado pede a reta em \mathbb{R}^2 que passa pela origem e é paralela ao vetor de direção \vec v = (-2,3). Para isso, usamos o fato de que a equação vetorial de uma reta com ponto inicial \vec r_0 e vetor diretor \vec v é
\vec r(t) = \vec r_0 + t\,\vec v.

Passo 2

Como a reta passa pela origem, temos \vec r_0=(0,0). Substituindo em \vec r(t)=\vec r_0+t\vec v, obtemos
\vec r(t)=t\,(-2,3).

Passo 3

Para escrever em coordenadas, deixe \vec r(t)=(x(t),y(t)). Da expressão vetorial segue
x(t)=-2t,
y(t)=3t,
com parâmetro t\in\mathbb{R}.

Resposta

Equação vetorial:
\vec r(t)=t\,(-2,3),\quad t\in\mathbb{R}.
Equações paramétricas:
x=-2t,\quad y=3t,\quad t\in\mathbb{R}.

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