Se \vec{u}=3 \vec{i}-\vec{j}-2 \vec{k}, \vec{v}=2 \vec{i}+4 \vec{j}-\vec{k} e \vec{w}=-\vec{i}+2 \vec{k}, determinar:
\vec{u} \times \vec{v}+\vec{w} \times \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá os três vetores
\vec{u}=3\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k},\qquad \vec{v}=2\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k},\qquad \vec{w}=-\vec{i}+2\vec{k}.
Pede para determinar a soma
\vec{u}\times\vec{v}+\vec{w}\times\vec{w}.
As informações relevantes são exatamente as componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}. A operação a calcular é produto vetorial (cross product) entre vetores e depois soma de vetores.

Passo 2

Vou lembrar o conceito e a fórmula do produto vetorial de forma clara e prática. Para dois vetores em coordenadas cartesianas
\vec{a}=(a_x,a_y,a_z),\qquad \vec{b}=(b_x,b_y,b_z),
o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é o vetor dado por (forma determinantal)
\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ a_x & a_y & a_z \\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}.
Na prática isso dá a fórmula componente a componente:
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_y b_z - a_z b_y\bigr)\vec{i}-\bigl(a_x b_z - a_z b_x\bigr)\vec{j}+\bigl(a_x b_y - a_y b_x\bigr)\vec{k}.
Explicando: cada componente é um determinante 2×2 das componentes restantes. Também é útil saber a propriedade importante: para qualquer vetor \vec{a}, tem-se \vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}, porque o ângulo entre \vec{a} e ele mesmo é zero e \sin 0=0 (ou porque as linhas da determinante ficam repetidas).

Passo 3

Vamos reescrever as componentes dos vetores dados para usar na fórmula:
\vec{u}=(3,\,-1,\,-2),\qquad \vec{v}=(2,\,4,\,-1),\qquad \vec{w}=(-1,\,0,\,2).
(Observe que extraí essas componentes diretamente do enunciado: \vec{u}=3\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k} etc.)

Passo 4

Calcular \vec{u}\times\vec{v} usando a fórmula de componentes:
Primeiro componente (em \vec{i}):
u_y v_z - u_z v_y = (-1)\cdot(-1) - (-2)\cdot 4 = 1 - (-8) = 9.
Segunda componente (antes do sinal negativo, para \vec{j}):
u_x v_z - u_z v_x = 3\cdot(-1) - (-2)\cdot 2 = -3 - (-4) = 1.
Como a fórmula tem um sinal negativo para a componente em \vec{j}, o coeficiente de \vec{j} será -1.
Terceira componente (em \vec{k}):
u_x v_y - u_y v_x = 3\cdot 4 - (-1)\cdot 2 = 12 - (-2) = 14.

Passo 5

Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=9\vec{i}-\vec{j}+14\vec{k}.
Vou comentar rápido para te deixar confiante: cada cálculo acima é um produto e uma subtração simples de inteiros — dá para fazer de cabeça na prova.

Passo 6

Agora calcular \vec{w}\times\vec{w}. Pelo que expliquei antes, o produto vetorial de um vetor por si mesmo é sempre o vetor nulo:
\vec{w}\times\vec{w}=\vec{0}.
(Se preferir ver algebricamente: as duas linhas da determinante ficam iguais, determinante nula.)

Passo 7

Somamos os resultados:
\vec{u}\times\vec{v}+\vec{w}\times\vec{w}=(9\vec{i}-\vec{j}+14\vec{k})+\vec{0}=9\vec{i}-\vec{j}+14\vec{k}.

Resposta

9\vec{i}-\vec{j}+14\vec{k}

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