Se \vec{u}=3 \vec{i}-\vec{j}-2 \vec{k}, \vec{v}=2 \vec{i}+4 \vec{j}-\vec{k} e \vec{w}=-\vec{i}+2 \vec{k}, determinar:
(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede um produto misto (produto escalar entre o produto vetorial de dois vetores e um terceiro). Dados fornecidos:
\vec{u}=3\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k}, \qquad \vec{v}=2\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k}, \qquad \vec{w}=-\vec{i}+2\vec{k}.
O que se quer calcular é (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar e entender como calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Para dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) em coordenadas cartesianas:
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Aqui cada componente é uma diferença de produtos — memorize esse padrão: componente em x usa y e z dos vetores, componente em y usa z e x, e assim por diante, com sinais alternados.

Passo 3

Vamos extrair as componentes dos vetores dados (estou tirando isso das expressões do enunciado):
\vec{u}=(3,\,-1,\,-2),\qquad \vec{v}=(2,\,4,\,-1),\qquad \vec{w}=(-1,\,0,\,2).
Agora aplico a fórmula do produto vetorial componente a componente.
Cálculo da primeira componente:
u_2v_3-u_3v_2 = (-1)\cdot(-1)-(-2)\cdot 4 = 1 - (-8) = 9.
Cálculo da segunda componente:
u_3v_1-u_1v_3 = (-2)\cdot 2 - 3\cdot(-1) = -4 -(-3) = -1.
Cálculo da terceira componente:
u_1v_2-u_2v_1 = 3\cdot 4 - (-1)\cdot 2 = 12 -(-2) = 14.
Logo
\vec{u}\times\vec{v}=(9,\,-1,\,14).

Passo 4

Agora lembramos a definição do produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3):
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Vamos aplicar com \vec{a}=\vec{u}\times\vec{v}=(9,-1,14) e \vec{b}=\vec{w}=(-1,0,2).

Passo 5

Cálculo do produto escalar final:
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}=9\cdot(-1)+(-1)\cdot 0 + 14\cdot 2 = -9 + 0 + 28 = 19.

Passo 6

(Aqui um pequeno comentário didático e checagem alternativa: o produto misto (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} também pode ser calculado como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
\det\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2\\[4pt] 2 & 4 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}=19,
o que confirma o resultado anterior. Esse valor geométrico dá o volume orientado do paralelepípedo formado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.)]

Resposta

19

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