Calcular nabla cdot(A times r) sendo nabla times A=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente calcule
nablacdotl(Atimesrr)
sabendo que .
Isso é um problema de cálculo vetorial: vamos usar definição de divergência, rotacional e uma identidade de produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, lembra a definição de divergência e rotacional em coordenadas cartesianas:
nablacdotF =partial Fxpartial x+partial Fypartial y+partial Fzpartial z, nablatimesF =l(partial Fzpartial y-partial Fypartial z,,dotsr)
E tem uma identidade legal pra divergência de um produto vetorial:
nablacdot(AtimesB) =Bcdot(nablatimesA) ;-;Acdot(nablatimesB)
Aqui a gente vai usar .

Passo 3

Agora, qual é o rotacional de nablatimesr =l(partial zpartial y-partial ypartial z,, partial xpartial z-partial zpartial x,, partial ypartial x-partial xpartial yr) =(0,0,0) ?
Como ,
Ou seja, .

Passo 4

Aplicando a identidade com nablacdot(Atimesr) =rcdot(nablatimesA) ;-;Acdot(nablatimesr) :
nablacdot(Atimesr) = rcdot 0 ;-; Acdot 0 =0-0=0
Como o enunciado diz que e vimos que , fica

Resposta

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