Encontre
para as seguintes equações a diferença:
Passo 1
O enunciado dá a equação a diferenças homogênea de segunda ordem
com condições iniciais em índices negativos:
e
.
O que precisamos fazer é (1) montar a equação característica, (2) achar as raízes, (3) escrever a solução geral e (4) determinar as constantes usando as condições iniciais.
O que precisamos fazer é (1) montar a equação característica, (2) achar as raízes, (3) escrever a solução geral e (4) determinar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos a equação característica trocando
por
. Assim obtemos
Passo 3
Resolvendo
usamos a fórmula de Bhaskara:
Chamando
vemos que as raízes são complexas conjugadas de módulo 1.
Passo 4
A solução geral da recorrência é
Passo 5
Para usar as condições iniciais, primeiro calculamos
e
a partir da própria equação a diferenças:
- Em
:
- Em
:
Passo 6
Substituímos
Resolvendo esse sistema (por exemplo, expressando (B=1-A] na segunda equação) chega-se a
Passo 7
Para escrever em termos reais usamos as identidades de Euler:
Isso leva a