Encontre y(k) para as seguintes equações a diferença:
y(k)+y(k-1)+y(k-2)=0, \quad y(-1)=0, y(-2)=-1

Passo 1

O enunciado dá a equação a diferenças homogênea de segunda ordem
y(k) + y(k-1) + y(k-2) = 0
com condições iniciais em índices negativos: y(-1)=0 e y(-2)=-1.
O que precisamos fazer é (1) montar a equação característica, (2) achar as raízes, (3) escrever a solução geral e (4) determinar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica trocando y(k-n) por r^{k-n}. Assim obtemos
r^2 + r + 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2 + r + 1 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm j\sqrt{3}}{2}.
Chamando
r_1 = e^{j \tfrac{2\pi}{3}}, \quad r_2 = e^{-j \tfrac{2\pi}{3}},
vemos que as raízes são complexas conjugadas de módulo 1.

Passo 4

A solução geral da recorrência é
y(k) = A\,r_1^k + B\,r_2^k.

Passo 5

Para usar as condições iniciais, primeiro calculamos y(0) e y(1) a partir da própria equação a diferenças:
  • Em k=0:
y(0) + y(-1) + y(-2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y(0) + 0 + (-1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y(0)=1.
  • Em k=1:
y(1) + y(0) + y(-1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y(1) + 1 + 0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y(1)=-1.

Passo 6

Substituímos k=0\) e \(k=1\) em \(y(k)=A\,r_1^k + B\,r_2^k\): \[\begin{cases} k=0: & A + B = 1,\\\ k=1: & A\,r_1 + B\,r_2 = -1. \end{cases}
Resolvendo esse sistema (por exemplo, expressando (B=1-A] na segunda equação) chega-se a
A = \tfrac12 + \tfrac{j}{2\sqrt{3}}, \quad B = \tfrac12 - \tfrac{j}{2\sqrt{3}}.

Passo 7

Para escrever em termos reais usamos as identidades de Euler:
r_1^k = e^{j\frac{2\pi k}{3}}, \quad r_2^k = e^{-j\frac{2\pi k}{3}}.
Isso leva a
y(k) = A\,e^{j\frac{2\pi k}{3}} + B\,e^{-j\frac{2\pi k}{3}} = \cos\!\bigl(\tfrac{2\pi k}{3}\bigr) \;-\;\frac{1}{\sqrt{3}}\, \sin\!\bigl(\tfrac{2\pi k}{3}\bigr).

Resposta

y(k) = \cos\!\bigl(\tfrac{2\pi k}{3}\bigr) -\frac{1}{\sqrt{3}}\, \sin\!\bigl(\tfrac{2\pi k}{3}\bigr).

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