Plote a curva e calcule seu comprimento.
x=\cos t+\ln \left(\operatorname{tg} \frac{1}{2} t\right), \quad y=\operatorname{sen} t, \quad \pi / 4 \leqslant t \leqslant 3 \pi / 4

Passo 1

O enunciado define a curva paramétrica
x(t)=\cos t+\ln\bigl(\tan\frac t2\bigr),\quad y(t)=\sin t,
no intervalo \pi/4\le t\le3\pi/4. Pede-se (a) um esboço do gráfico no plano (x,y) e (b) o comprimento de arco dessa curva. O conteúdo usado será o esboço de curvas paramétricas e a fórmula de comprimento de arco para curvas dadas por x(t),y(t).

Passo 2

Para esboçar a curva, calculemos três pontos notáveis:
em t=\pi/4,
x\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=\tfrac{\sqrt2}2+\ln\bigl(\tan\tfrac\pi8\bigr),\quad y\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=\tfrac{\sqrt2}2;
em t=\pi/2,
x\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0+\ln\bigl(\tan\tfrac\pi4\bigr)=0,\quad y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=1;
em t=3\pi/4,
x\bigl(\tfrac{3\pi}4\bigr)=-\tfrac{\sqrt2}2+\ln\bigl(\tan\tfrac{3\pi}8\bigr),\quad y\bigl(\tfrac{3\pi}4\bigr)=\tfrac{\sqrt2}2.
Conectando esses pontos obtemos uma curva em forma de arco, subindo de \bigl(x,y\bigr)\approx(-0{,}17,0{,}707) até (0,1) e descendo a (0{,}17,0{,}707).

Passo 3

A fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica \bigl(x(t),y(t)\bigr) é
L=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt.

Passo 4

Calculemos as derivadas:
y'(t)=\frac{d}{dt}\sin t=\cos t,
x'(t) =\frac{d}{dt}\cos t+\frac{d}{dt}\ln\!\bigl(\tan\tfrac t2\bigr) =-\sin t+\frac1{\sin t},
pois
\frac{d}{dt}\ln\!\bigl(\tan\tfrac t2\bigr) =\frac1{\tan(t/2)}\cdot\frac12\operatorname{sec}^2\!\bigl(\tfrac t2\bigr) =\frac1{\sin t}.

Passo 5

O integrando fica
\sqrt{\bigl(-\sin t+\tfrac1{\sin t}\bigr)^2+\cos^2t} =\sqrt{\frac1{\sin^2t}-1} =\bigl|\cot t\bigr|.

Passo 6

Logo
L=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\bigl|\cot t\bigr|\,dt =\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot t\,dt +\int_{\pi/2}^{3\pi/4}(-\cot t)\,dt.

Passo 7

Sabendo \displaystyle\int\cot t\,dt=\ln|\sin t|, temos
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot t\,dt =\bigl[\ln\sin t\bigr]_{\pi/4}^{\pi/2} =-\ln\!\bigl(\tfrac{\sqrt2}2\bigr) =\tfrac12\ln2,
\int_{\pi/2}^{3\pi/4}(-\cot t)\,dt =-\bigl[\ln\sin t\bigr]_{\pi/2}^{3\pi/4} =-\ln\!\bigl(\tfrac{\sqrt2}2\bigr) =\tfrac12\ln2.
Somando,
L=\tfrac12\ln2+\tfrac12\ln2=\ln2.

Resposta

O comprimento da curva é \ln2.

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