Calcular o número de colisões por segundo de moléculas de \mathrm{N}_{2} à altitude de 20 km .

Passo 1

O enunciado pede: calcular o número de colisões por segundo de moléculas de \mathrm{N}_2 à altitude de 20\\ \mathrm{km}. Vou interpretar isso como a frequência média de colisões por molécula (ou seja, quantas colisões, em média, uma molécula sofre por segundo).
Informações/pressupostos que vou usar (valores padrão da atmosfera e propriedades do \mathrm{N}_2; estes valores são aproximações aceitáveis para cálculo de ordem de grandeza):
  • Pressão aproximada a 20\\ \mathrm{km}: p = 5{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura aproximada a 20\\ \mathrm{km}: T = 216{,}65\\ \mathrm{K}.
  • Diâmetro cinético (diâmetro efetivo de colisão) da molécula de \mathrm{N}_2: d = 3,64\times10^{-10}\\ \mathrm{m} (valor típico encontrado em tabelas).
  • Massa molar do \mathrm{N}_2: M = 0{,}0280134\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}}.
  • Constantes: constante de Boltzmann k = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\\ K^{-1}} e número de Avogadro N_A = 6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 2

Qual fórmula usar? Da teoria cinética dos gases, a frequência média de colisões por molécula (denotada z) para partículas idênticas e modeladas como esferas rígidas é dada por
z = n\,\sigma\,\bar{v}_{\mathrm{rel}},
onde:
  • n é a densidade numérica (número de moléculas por volume, em \mathrm{m^{-3}});
  • \sigma é a seção de choque efetiva entre duas moléculas (em \mathrm{m^{2}});
  • \bar{v}_{\mathrm{rel}} é a velocidade relativa média entre duas moléculas (em \mathrm{m\\ s^{-1}}).
Explicação física curta e intuitiva: n\sigma é a “probabilidade por unidade comprimento” de encontrar um alvo para colisão, e multiplicando por uma velocidade relativa média obtemos quantas colisões acontecem por unidade de tempo para uma partícula.

Passo 3

Calcular a densidade numérica n usando a equação dos gases ideais:
n = \frac{p}{kT}.
Substituindo p, k e T:
n = \frac{5{,}5\times10^{3}}{(1{,}380649\times10^{-23})\cdot(216{,}65)}.
Faço a conta passo a passo:
kT = 1{,}380649\times10^{-23}\times216{,}65 = 2{,}99300\times10^{-21}\\ \mathrm{J},
n = \frac{5{,}5\times10^{3}}{2{,}99300\times10^{-21}} = 1{,}838\times10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 4

Calcular a massa de uma molécula de \mathrm{N}_2:
m = \frac{M}{N_A} = \frac{0{,}0280134}{6{,}02214076\times10^{23}} = 4{,}6515\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Aqui m é a massa de uma única molécula — necessária para calcular velocidades típicas da distribuição de Maxwell.

Passo 5

Calcular a velocidade média ( \bar{v}) de Maxwell para uma molécula e a velocidade relativa média entre duas moléculas.
A velocidade média (módulo) é
\bar{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}.
Substituindo:
\bar{v} = \sqrt{\frac{8\cdot(1{,}380649\times10^{-23})\cdot(216{,}65)}{\pi\cdot(4{,}6515\times10^{-26})}}.
Calculemos numericamente:
8kT = 2{,}3944\times10^{-20}, \qquad \pi m = 1{,}46013\times10^{-25},
\frac{8kT}{\pi m} = 1{,}6399\times10^{5}, \qquad \bar{v} = \sqrt{1{,}6399\times10^{5}} = 404{,}96\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
A velocidade relativa média entre duas moléculas idênticas numa distribuição de Maxwell é
\bar{v}_{\mathrm{rel}} = \sqrt{2}\,\bar{v}.
Logo
\bar{v}_{\mathrm{rel}} = \sqrt{2}\times404{,}96 = 572{,}5\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
Pequena intuição: duas moléculas se aproximam mais rápido, em média, do que a velocidade média de uma só, por isso o fator \sqrt{2}.

Passo 6

Calcular a seção de choque \sigma. Para esferas duras,
\sigma = \pi d^{2},
onde d é o diâmetro cinético. Usando d = 3{,}64\times10^{-10}\\ \mathrm{m}:
\sigma = \pi(3{,}64\times10^{-10})^{2} = \pi\cdot1{,}32496\times10^{-19} = 4{,}163\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.
Observação: o diâmetro usado é um valor aproximado contratado da literatura (modelo de esfera efetiva); isso torna o resultado uma estimativa razoável.

Passo 7

Agora calculo a frequência de colisões por molécula:
z = n\,\sigma\,\bar{v}_{\mathrm{rel}}.
Substituindo os valores encontrados:
z = (1{,}838\times10^{24})\cdot(4{,}163\times10^{-19})\cdot(572{,}5).
Faço em etapas:
n\sigma = 1{,}838\times10^{24}\times4{,}163\times10^{-19} = 7{,}650\times10^{5}\\ \mathrm{m^{-1}},
z = 7{,}650\times10^{5}\times572{,}5 = 4{,}38\times10^{8}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 8

Interpretação e comentários finais:
  • O resultado significa que, em média, cada molécula de \mathrm{N}_2 a 20\\ \mathrm{km} sofre da ordem de 4\times10^{8} colisões por segundo.
  • O valor é uma estimativa que depende dos valores assumidos de p, T e do diâmetro cinético d. Se usar um d ligeiramente diferente ou um p/ T mais precisos, o resultado muda modestamente.
  • Ordem de grandeza é a informação mais robusta: centenas de milhões de colisões por segundo por molécula — o ar, mesmo rarefeito a 20\\ \mathrm{km}, ainda tem colisões muito frequentes a nível molecular.

Resposta

4,4\times10^{8}\\ \mathrm{s^{-1}} (aproximadamente)

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