Calcular o número de colisões por segundo de moléculas de
à altitude de 20 km .
Passo 1
O enunciado pede: calcular o número de colisões por segundo de moléculas de
à altitude de
. Vou interpretar isso como a frequência média de colisões por molécula (ou seja, quantas colisões, em média, uma molécula sofre por segundo).
Informações/pressupostos que vou usar (valores padrão da atmosfera e propriedades do
; estes valores são aproximações aceitáveis para cálculo de ordem de grandeza):
- Pressão aproximada a
: . - Temperatura aproximada a
: . - Diâmetro cinético (diâmetro efetivo de colisão) da molécula de
: (valor típico encontrado em tabelas). - Massa molar do
: . - Constantes: constante de Boltzmann
e número de Avogadro .
Passo 2
Qual fórmula usar? Da teoria cinética dos gases, a frequência média de colisões por molécula (denotada
) para partículas idênticas e modeladas como esferas rígidas é dada por
onde:
-
é a densidade numérica (número de moléculas por volume, em ); -
é a seção de choque efetiva entre duas moléculas (em ); -
é a velocidade relativa média entre duas moléculas (em ).
Explicação física curta e intuitiva:
é a “probabilidade por unidade comprimento” de encontrar um alvo para colisão, e multiplicando por uma velocidade relativa média obtemos quantas colisões acontecem por unidade de tempo para uma partícula.
Passo 3
Calcular a densidade numérica
usando a equação dos gases ideais:
Substituindo
,
e
:
Faço a conta passo a passo:
Passo 4
Calcular a massa de uma molécula de
:
Aqui
é a massa de uma única molécula — necessária para calcular velocidades típicas da distribuição de Maxwell.
Passo 5
Calcular a velocidade média (
) de Maxwell para uma molécula e a velocidade relativa média entre duas moléculas.
A velocidade média (módulo) é
Substituindo:
Calculemos numericamente:
A velocidade relativa média entre duas moléculas idênticas numa distribuição de Maxwell é
Logo
Pequena intuição: duas moléculas se aproximam mais rápido, em média, do que a velocidade média de uma só, por isso o fator
.
Passo 6
Calcular a seção de choque
. Para esferas duras,
onde
é o diâmetro cinético. Usando
:
Observação: o diâmetro usado é um valor aproximado contratado da literatura (modelo de esfera efetiva); isso torna o resultado uma estimativa razoável.
Passo 7
Agora calculo a frequência de colisões por molécula:
Substituindo os valores encontrados:
Faço em etapas:
Passo 8
Interpretação e comentários finais:
- O resultado significa que, em média, cada molécula de
a sofre da ordem de colisões por segundo. - O valor é uma estimativa que depende dos valores assumidos de
, e do diâmetro cinético . Se usar um ligeiramente diferente ou um / mais precisos, o resultado muda modestamente. - Ordem de grandeza é a informação mais robusta: centenas de milhões de colisões por segundo por molécula — o ar, mesmo rarefeito a
, ainda tem colisões muito frequentes a nível molecular.