Calcular a velocidade média, a velocidade mais provável e a velocidade média quadrática das moléculas de
e benzeno a
e
. Comentar os resultados obtidos.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, para as moléculas de
e de benzeno à temperatura
e
, as três velocidades da distribuição de Maxwell–Boltzmann:
- velocidade média (média aritmética das velocidades), denotada por
; - velocidade mais provável (modo da distribuição), denotada por
; - velocidade média quadrática (root-mean-square), denotada por
.
Informações que temos (do enunciado ou constantes físicas):
- temperaturas:
e , que correspondem a - massas molares (valores padrão conhecidos):
- constante dos gases ideais:
O que vamos entregar: para cada gás e cada temperatura, os valores numéricos de
,
e
, com breve comentário sobre os resultados.
Passo 2
Apresentar as fórmulas da distribuição de velocidades e explicar cada termo.
A distribuição de Maxwell–Boltzmann dá as seguintes velocidades características para um gás ideal (por molécula com massa molecular
em kg/mol e temperatura
em K):
- velocidade mais provável (modo):
Explicação: aqui
é a constante dos gases (energia por mol e por kelvin),
é a temperatura absoluta,
é a massa molar em
. A expressão deriva do pico da função de densidade de probabilidade dos módulos das velocidades.
- velocidade média (média do módulo da velocidade):
Explicação: é a esperança do módulo da velocidade segundo a distribuição de Maxwell; aparece o fator
porque integra-se a distribuição sobre todas as direções.
- velocidade quadrática média (rms):
Explicação: é a raiz quadrada da média do quadrado da velocidade; relaciona-se diretamente com a energia cinética média por molécula (
, com
constante de Boltzmann).
Relações úteis entre elas (que ajudam a checar contas):
Passo 3
Preparar constantes numéricas e conversões (já parcialmente listadas no Passo 1) e organizar o procedimento de cálculo.
Valores que usarei:
Para cada caso vou:
- calcular o quociente
; - usar as fórmulas do Passo 2 para obter
, e ; - apresentar resultados com algumas casas decimais e comentar.
Passo 4
Cálculos para
a
(
).
- Calcular
:
(união de unidades:
, dividindo por
dá
.)
- Velocidade mais provável:
- Velocidade média:
- Velocidade rms:
Passo 5
Cálculos para
a
(
).
-
-
Velocidade mais provável:
- Velocidade média:
- Velocidade rms:
Passo 6
Cálculos para o benzeno a
(
).
- Calcular
:
- Velocidade mais provável:
- Velocidade média:
- Velocidade rms:
Passo 7
Cálculos para o benzeno a
(
).
-
-
Velocidade mais provável:
- Velocidade média:
- Velocidade rms:
Passo 8
Comentário dos resultados (intuitivo e útil para a prova):
- Todas as velocidades aumentam quando a temperatura aumenta. Isso ocorre porque a energia térmica média por molécula cresce com
(energia cinética média ), e as velocidades vão como . - Para um dado
, moléculas mais pesadas movem-se mais devagar: as velocidades variam como . Por isso o benzeno (massa molar maior) tem velocidades características bem menores que as do . - Ordem típica das três velocidades:
. Isso é consequência da assimetria da distribuição de Maxwell (a cauda alta puxa a média quadrática e a média aritmética para valores maiores que o modo). - Para estimativas rápidas na prova pode-se recordar as relações de passo:
e , que evitam recalcular tudo do zero.