Calcular a velocidade média, a velocidade mais provável e a velocidade média quadrática das moléculas de \mathrm{O}_{2} e benzeno a 60^{\circ} \mathrm{C} e 300^{\circ} \mathrm{C}. Comentar os resultados obtidos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, para as moléculas de \mathrm{O}_{2} e de benzeno à temperatura 60^\circ\mathrm{C} e 300^\circ\mathrm{C}, as três velocidades da distribuição de Maxwell–Boltzmann:
  • velocidade média (média aritmética das velocidades), denotada por \overline{v};
  • velocidade mais provável (modo da distribuição), denotada por v_{\mathrm{mp}};
  • velocidade média quadrática (root-mean-square), denotada por v_{\mathrm{rms}}.
Informações que temos (do enunciado ou constantes físicas):
  • temperaturas: 60^\circ\mathrm{C} e 300^\circ\mathrm{C}, que correspondem a T_1 = 60^\circ\mathrm{C} = 333,15\\ \mathrm{K},\qquad T_2 = 300^\circ\mathrm{C} = 573,15\\ \mathrm{K}.
  • massas molares (valores padrão conhecidos): M_{\mathrm{O}_2}=32,00\\ \mathrm{g/mol}=0,03200\\ \mathrm{kg/mol}, \qquad M_{\text{benzeno}}=78{,}11\\ \mathrm{g/mol}=0,07811\\ \mathrm{kg/mol}.
  • constante dos gases ideais: R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
O que vamos entregar: para cada gás e cada temperatura, os valores numéricos de v_{\mathrm{mp}}, \overline{v} e v_{\mathrm{rms}}, com breve comentário sobre os resultados.

Passo 2

Apresentar as fórmulas da distribuição de velocidades e explicar cada termo.
A distribuição de Maxwell–Boltzmann dá as seguintes velocidades características para um gás ideal (por molécula com massa molecular M em kg/mol e temperatura T em K):
  • velocidade mais provável (modo):
v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\dfrac{2RT}{M}}.
Explicação: aqui R é a constante dos gases (energia por mol e por kelvin), T é a temperatura absoluta, M é a massa molar em \mathrm{kg/mol}. A expressão deriva do pico da função de densidade de probabilidade dos módulos das velocidades.
  • velocidade média (média do módulo da velocidade):
\overline{v}=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}}.
Explicação: é a esperança do módulo da velocidade segundo a distribuição de Maxwell; aparece o fator \pi porque integra-se a distribuição sobre todas as direções.
  • velocidade quadrática média (rms):
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}.
Explicação: é a raiz quadrada da média do quadrado da velocidade; relaciona-se diretamente com a energia cinética média por molécula ( \tfrac{1}{2}m v_{\mathrm{rms}}^2 = \tfrac{3}{2}k_BT, com k_B constante de Boltzmann).
Relações úteis entre elas (que ajudam a checar contas):
\overline{v}=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\,v_{\mathrm{mp}}\approx 1,12838\,v_{\mathrm{mp}}, \qquad v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\,v_{\mathrm{mp}}\approx 1,22474\,v_{\mathrm{mp}}.

Passo 3

Preparar constantes numéricas e conversões (já parcialmente listadas no Passo 1) e organizar o procedimento de cálculo.
Valores que usarei:
R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, \quad M_{\mathrm{O}_2}=0,03200\\ \mathrm{kg/mol}, \quad M_{\text{benzeno}}=0,07811\\ \mathrm{kg/mol},
T_1=333,15\\ \mathrm{K}, \quad T_2=573,15\\ \mathrm{K}.
Para cada caso vou:
  1. calcular o quociente \dfrac{RT}{M};
  2. usar as fórmulas do Passo 2 para obter v_{\mathrm{mp}}, \overline{v} e v_{\mathrm{rms}};
  3. apresentar resultados com algumas casas decimais e comentar.

Passo 4

Cálculos para \mathrm{O}_2 a 60^\circ\mathrm{C} ( T_1=333,15\\ \mathrm{K}).
  1. Calcular \dfrac{RT_1}{M_{\mathrm{O}_2}}:
\frac{RT_1}{M_{\mathrm{O}_2}} =\frac{8,314\cdot 333,15}{0,03200} \approx 86\,563,6\\ \left(\mathrm{m^2/s^2}\right).
(união de unidades: \mathrm{J/mol} = \mathrm{kg\,m^2/(s^2\,mol)}, dividindo por \mathrm{kg/mol} \mathrm{m^2/s^2}.)
  1. Velocidade mais provável:
v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\dfrac{2RT_1}{M_{\mathrm{O}_2}}} =\sqrt{2\cdot 86\,563,6} \approx \sqrt{173\,127,2} \approx 416,1\\ \mathrm{m/s}.
  1. Velocidade média:
\overline{v}=\sqrt{\dfrac{8RT_1}{\pi M_{\mathrm{O}_2}}} =\sqrt{\dfrac{8}{\pi}\cdot 86\,563,6} \approx 1,12838\cdot 416,1 \approx 469,6\\ \mathrm{m/s}.
  1. Velocidade rms:
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT_1}{M_{\mathrm{O}_2}}} =\sqrt{3\cdot 86\,563,6} \approx 1,22474\cdot 416,1 \approx 509,7\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculos para \mathrm{O}_2 a 300^\circ\mathrm{C} ( T_2=573,15\\ \mathrm{K}).
  1. \dfrac{RT_2}{M_{\mathrm{O}_2}}=\dfrac{8,314\cdot 573,15}{0,03200}\approx 148\,919,9\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  2. Velocidade mais provável:
v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{2\cdot 148\,919,9} \approx \sqrt{297\,839,8} \approx 545,7\\ \mathrm{m/s}.
  1. Velocidade média:
\overline{v}\approx 1,12838\cdot 545,7 \approx 615,7\\ \mathrm{m/s}.
  1. Velocidade rms:
v_{\mathrm{rms}}\approx 1,22474\cdot 545,7 \approx 668,8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Cálculos para o benzeno a 60^\circ\mathrm{C} ( T_1=333,15\\ \mathrm{K}).
  1. Calcular \dfrac{RT_1}{M_{\text{benzeno}}}:
\frac{RT_1}{M_{\text{benzeno}}} =\frac{8,314\cdot 333,15}{0,07811} \approx 35\,480,9\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  1. Velocidade mais provável:
v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{2\cdot 35\,480,9} \approx \sqrt{70\,961,8} \approx 266,4\\ \mathrm{m/s}.
  1. Velocidade média:
\overline{v}\approx 1,12838\cdot 266,4 \approx 300,7\\ \mathrm{m/s}.
  1. Velocidade rms:
v_{\mathrm{rms}}\approx 1,22474\cdot 266,4 \approx 326,2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Cálculos para o benzeno a 300^\circ\mathrm{C} ( T_2=573,15\\ \mathrm{K}).
  1. \dfrac{RT_2}{M_{\text{benzeno}}}=\dfrac{8,314\cdot 573,15}{0,07811}\approx 61\,009,3\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  2. Velocidade mais provável:
v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{2\cdot 61\,009,3} \approx \sqrt{122\,018,6} \approx 349,3\\ \mathrm{m/s}.
  1. Velocidade média:
\overline{v}\approx 1,12838\cdot 349,3 \approx 394,2\\ \mathrm{m/s}.
  1. Velocidade rms:
v_{\mathrm{rms}}\approx 1,22474\cdot 349,3 \approx 427,6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Comentário dos resultados (intuitivo e útil para a prova):
  • Todas as velocidades aumentam quando a temperatura aumenta. Isso ocorre porque a energia térmica média por molécula cresce com T (energia cinética média \propto T), e as velocidades vão como \sqrt{T}.
  • Para um dado T, moléculas mais pesadas movem-se mais devagar: as velocidades variam como 1/\sqrt{M}. Por isso o benzeno (massa molar maior) tem velocidades características bem menores que as do \mathrm{O}_2.
  • Ordem típica das três velocidades: v_{\mathrm{mp}} < \overline{v} < v_{\mathrm{rms}}. Isso é consequência da assimetria da distribuição de Maxwell (a cauda alta puxa a média quadrática e a média aritmética para valores maiores que o modo).
  • Para estimativas rápidas na prova pode-se recordar as relações de passo: \overline{v}\approx 1,128\,v_{\mathrm{mp}} e v_{\mathrm{rms}}\approx 1,225\,v_{\mathrm{mp}}, que evitam recalcular tudo do zero.

Resposta

\mathrm{O}_2,\\\ 60^\circ\mathrm{C}:\\ v_{\mathrm{mp}}=416,1\\ \mathrm{m/s},\\ \overline{v}=469,6\\ \mathrm{m/s},\\ v_{\mathrm{rms}}=509,7\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{O}_2,\\\ 300^\circ\mathrm{C}:\\ v_{\mathrm{mp}}=545,7\\ \mathrm{m/s},\\ \overline{v}=615,7\\ \mathrm{m/s},\\ v_{\mathrm{rms}}=668,8\\ \mathrm{m/s}
\text{Benzeno},\\\ 60^\circ\mathrm{C}:\\ v_{\mathrm{mp}}=266,4\\ \mathrm{m/s},\\ \overline{v}=300,7\\ \mathrm{m/s},\\ v_{\mathrm{rms}}=326,2\\ \mathrm{m/s}
\text{Benzeno},\\\ 300^\circ\mathrm{C}:\\ v_{\mathrm{mp}}=349,3\\ \mathrm{m/s},\\ \overline{v}=394,2\\ \mathrm{m/s},\\ v_{\mathrm{rms}}=427,6\\ \mathrm{m/s}

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