Calcular o número esperado de faces caras no lançamento de duas moedas equilibradas. Calcular a variância da distribuição.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da esperança e da variância do número de caras X ao lançar duas moedas equilibradas. O conteúdo é distribuição binomial com parâmetros n=2 e p=0,5. Para resolver, vamos primeiro achar a função de probabilidade de X, depois usar as definições
E(X)=\sum_x x\,P(X=x),
\mathrm{Var}(X)=E\bigl(X^2\bigr)-\bigl[E(X)\bigr]^2.

Passo 2

Determinamos a distribuição de X. Como cada moeda dá cara com probabilidade 0,5 e há 2 moedas,
P(X=0)=\frac{1}{4},\quad P(X=1)=\frac{2}{4},\quad P(X=2)=\frac{1}{4}.

Passo 3

Calculamos a esperança usando a soma ponderada:
E(X) =\sum_{x=0}^{2}x\,P(X=x) =0\cdot\frac{1}{4}+1\cdot\frac{2}{4}+2\cdot\frac{1}{4} =\frac{2+2}{4} =1.

Passo 4

Para a variância, primeiro achamos E(X^2):
E\bigl(X^2\bigr) =\sum_{x=0}^{2}x^2\,P(X=x) =0^2\cdot\frac{1}{4}+1^2\cdot\frac{2}{4}+2^2\cdot\frac{1}{4} =\frac{2+4}{4} =\frac{6}{4} =\frac{3}{2}.
Em seguida,
\mathrm{Var}(X) =E\bigl(X^2\bigr)-\bigl[E(X)\bigr]^2 =\frac{3}{2}-1^2 =\frac{3}{2}-1 =\frac{1}{2}.

Resposta

A esperança é E(X)=1
A variância é \mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{2}.

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