Dois dados são lançados e observa-se o par obtido. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas da seguinte forma:
\mathrm{X}= soma do par obtido
Y = maior valor do par
Construa o espaço amostral e a função de probabilidade, considerando os resultados equiprováveis.

Passo 1

O experimento consiste em lançar dois dados justos e observar o par ordenado (i,j). Definimos as variáveis aleatórias X = i + j (soma dos resultados) e Y = \max\{i,j\} (maior valor obtido).
Queremos primeiro descrever o espaço amostral de (X,Y) e depois obter a função de probabilidade conjunta p_{X,Y}(x,y).

Passo 2

O espaço amostral elementar dos dois dados é
\Omega = \{(i,j)\mid i=1,\dots,6,\;j=1,\dots,6\},
com probabilidade uniforme
P\bigl(\{(i,j)\}\bigr)=\frac{1}{36}\quad\text{para todo }(i,j)\in\Omega.
A variável aleatória (X,Y) é dada pela transformação
(i,j)\mapsto\bigl(X(i,j),\,Y(i,j)\bigr)=\bigl(i+j,\;\max\{i,j\}\bigr).

Passo 3

Vamos caracterizar o conjunto de valores possíveis de (X,Y). Se y=\max\{i,j\}, então o outro valor m=\min\{i,j\} varia de 1 até y, e a soma é
x = i + j = y + m.
Como m\ge1, vale x\ge y+1, e como m\le y, vale x\le2y. Além disso y varia de 1 até 6. Portanto o espaço de (X,Y) é
S = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{N}^2 \mid y=1,2,\dots,6,\;x=y+1,y+2,\dots,2y\bigr\}.

Passo 4

Para cada (x,y)\in S contamos quantos pares (i,j) geram essa soma e esse máximo:
  • Se x=2y, então necessariamente i=j=y e há exatamente 1 resultado em \Omega.
  • Se y+1\le x\le 2y-1, então m=x-y satisfaz 1\le m\le y-1 e os dois pares (i,j)=(y,m) e (i,j)=(m,y) são distintos. Logo há 2 resultados em \Omega.
    Assim a probabilidade conjunta é
p_{X,Y}(x,y) =\begin{cases} \dfrac{1}{36},&x=2y,\\[1em] \dfrac{2}{36},&y+1\le x\le2y-1,\\[0.5em] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á]

Resposta

O espaço de (X,Y) é
S = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{N}^2 \mid y=1,2,\dots,6,\;x=y+1,\dots,2y\bigr\},
e a função de probabilidade conjunta é
p_{X,Y}(x,y) =\begin{cases} \dfrac{1}{36},&x=2y,\\[0.5em] \dfrac{2}{36},&y+1\le x\le2y-1,\\[0.5em] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á]

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