Seja uma variável aleatória Y com função de probabilidade dada na tabela a seguir:
Table 1: Tabela 4: Distribuição de probabilidade de Y
\captionsetup{labelformat=empty}
Y 0 1 2 3 4 5 \sum_{1}^{5}
\mathrm{P}(\mathrm{Y}=\mathrm{y}) 0 p^{2} p^{2} p p p^{2} 1
(a) Encontre o valor de p;
(b) Encontre a Esperança e a Variância da v.a. Y.

Passo 1

O enunciado define uma v.a. discreta Y com possíveis valores 0,1,2,3,4,5 e probabilidades
P(Y=0)=0,\quad P(Y=1)=p^2,\quad P(Y=2)=p^2,\quad P(Y=3)=p,\quad P(Y=4)=p,\quad P(Y=5)=p^2.
Precisamos usar a condição de distribuição de probabilidade (soma igual a 1) para encontrar p e depois calcular a esperança e a variância de Y.

Passo 2

A soma das probabilidades deve ser 1, logo
0 + p^2 + p^2 + p + p + p^2 = 1
3p^2 + 2p = 1.
Resolvendo a equação quadrática:
3p^2 + 2p - 1 = 0
p = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot3\cdot(-1)}}{2\cdot3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}.
A única raiz viável em [0,1] é
p = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}.

Passo 3

Para a esperança usamos
E[Y] = \sum_{y=0}^{5} y\,P(Y=y) = 1\cdot p^2 + 2\cdot p^2 + 3\cdot p + 4\cdot p + 5\cdot p^2.
Agrupando termos,
E[Y] = (1+2+5)p^2 + (3+4)p = 8p^2 + 7p.
Substituindo p=\tfrac{1}{3}:
E[Y] = 8\cdot\frac{1}{9} + 7\cdot\frac{1}{3} = \frac{8}{9} + \frac{21}{9} = \frac{29}{9}.

Passo 4

Para a variância precisamos de E[Y^2]:
E[Y^2] = \sum_{y=0}^{5} y^2\,P(Y=y) = 1^2 p^2 + 2^2 p^2 + 3^2 p + 4^2 p + 5^2 p^2 = (1+4+25)p^2 + (9+16)p = 30p^2 + 25p.
Substituindo p=\tfrac{1}{3}:
E[Y^2] = 30\cdot\frac{1}{9} + 25\cdot\frac{1}{3} = \frac{30}{9} + \frac{75}{9} = \frac{105}{9} = \frac{35}{3}.
A variância é
\operatorname{Var}(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \frac{35}{3} - \Bigl(\frac{29}{9}\Bigr)^2 = \frac{35}{3} - \frac{841}{81} = \frac{945 - 841}{81} = \frac{104}{81}.

Resposta

(a) p = \tfrac{1}{3}.
(b) E[Y] = \tfrac{29}{9},\quad \operatorname{Var}(Y) = \tfrac{104}{81}.

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