Calcular o número de regiões em que o plano é dividido por
retas distintas em cada uma das seguintes situações:
não existem duas retas paralelas nem três retas concorrentes.
não existem duas retas paralelas nem três retas concorrentes.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente descobrir quantas regiões o plano fica dividido quando a gente desenha
retas, sendo que nenhuma é paralela a outra e não há três se cruzando no mesmo ponto.
Conteúdo: combinação de geometria com um toque de raciocínio indutivo.
O que precisamos:
Conteúdo: combinação de geometria com um toque de raciocínio indutivo.
O que precisamos:
- Entender como cada nova reta “corta” as regiões já existentes.
- Saber somar sequências de números inteiros (soma dos primeiros
naturais).
Passo 2
Vamos começar do começo: quantas regiões o plano tem com zero retas?
Se não tem reta nenhuma, o plano está inteiro, sem cortes, então só há 1 região.
Anotamos:
Se não tem reta nenhuma, o plano está inteiro, sem cortes, então só há 1 região.
Anotamos:
Passo 3
Agora, suponha que a gente já desenhou
retas em geral posição e que elas dividem o plano em
regiões.
Quando a gente adiciona a reta de número :
Quando a gente adiciona a reta de número
- Ela vai cruzar cada uma das
retas anteriores em pontos diferentes (sem paralelas e sem três concorrentes). - Logo, ela é cortada em
pontos, criando pedaços de reta. - Cada um desses
pedaços entra numa região diferente e a “parte” da reta que passa ali divide essa região em duas.
Ou seja, cada pedaço gera 1 região nova, totalizandoregiões a mais.
Isso nos dá a relação de recorrência:
Passo 4
Para achar
, somamos essa “ganho” de regiões para cada reta que a gente foi adicionando, desde 1 até
:
E a soma dos primeiros
inteiros é
Substituindo:
Resposta
O número máximo de regiões em que
retas, sem paralelismo nem três concorrentes, dividem o plano é