Calcular o número de regiões em que o plano é dividido por n retas distintas em cada uma das seguintes situações:
não existem duas retas paralelas nem três retas concorrentes. ^1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente descobrir quantas regiões o plano fica dividido quando a gente desenha retas, sendo que nenhuma é paralela a outra e não há três se cruzando no mesmo ponto.
Conteúdo: combinação de geometria com um toque de raciocínio indutivo.
O que precisamos:
  • Entender como cada nova reta “corta” as regiões já existentes.
  • Saber somar sequências de números inteiros (soma dos primeiros naturais).

Passo 2

Vamos começar do começo: quantas regiões o plano tem com zero retas?
Se não tem reta nenhuma, o plano está inteiro, sem cortes, então só há 1 região.
Anotamos:
R(0) = 1

Passo 3

Agora, suponha que a gente já desenhou R(k+1) = R(k) + (k+1) retas em geral posição e que elas dividem o plano em regiões.
Quando a gente adiciona a reta de número :
  1. Ela vai cruzar cada uma das retas anteriores em pontos diferentes (sem paralelas e sem três concorrentes).
  2. Logo, ela é cortada em pontos, criando pedaços de reta.
  3. Cada um desses pedaços entra numa região diferente e a “parte” da reta que passa ali divide essa região em duas.
    Ou seja, cada pedaço gera 1 região nova, totalizando regiões a mais.
    Isso nos dá a relação de recorrência:

Passo 4

Para achar R(n) ;=; R(0) + sumi=1^n i ;=; 1 + l(1 + 2 + 3 + cdots + nr) , somamos essa “ganho” de regiões para cada reta que a gente foi adicionando, desde 1 até 1 + 2 + cdots + n ;=; n(n+1)2 :
R(n) = 1 + n(n+1)2
E a soma dos primeiros inteiros é
Substituindo:

Resposta

O número máximo de regiões em que boxedR(n) = 1 + n(n+1)2 retas, sem paralelismo nem três concorrentes, dividem o plano é

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