Demonstre que para qualquer n in N é valida desigualdade
an=(1+1n)^n<3

Passo 1

Beleza, a questão pede pra mostrar que, para todo an=l(1+1nr)^n<3 , vale
Isso envolve conteúdo de expansão pelo Teorema Binomial, comparação de séries e alguns truques de desigualdade. Vamos usar:
  1. Teorema Binomial para expandir .
  2. Estimar cada termo da expansão por .
  3. Mostrar que a soma (que é ) fica abaixo de 3.

Passo 2

Pela expansão binomial,
l(1+1nr)^n =sumk=0^nbinom n kl(1nr)^k =sumk=0^nn(n-1)cdots(n-k+1)k!,1n^k
Aqui a ideia é comparar com 1, pra simplificar.

Passo 3

Repara que
n(n-1)cdots(n-k+1)n^k =nn,n-1ncdotsn-k+1n <= 1cdot1cdots1=1
Logo cada coeficiente da soma satisfaz
binom n k1n^k =n(n-1)cdots(n-k+1)k!,n^k<=1k!

Passo 4

Então conseguimos o majorante
l(1+1nr)^n =sumk=0^nbinom n kl(tfrac1nr)^k <=sumk=0^n1k! <=sumk=0^infty1k! =e
Até aqui mostramos .

Passo 5

Agora falta ver que e=sumk=0^infty1k! =1+;1+;sumk=2^infty1k!, . Como
k!;=;1cdot2cdot3cdots k;>=;2^,k-1,
vamos colocar a cauda da soma abaixo de 1. Note que, para 1k!<=12^k-1 , vale
sumk=2^infty1k! <=sumk=2^infty12^k-1 =sumj=1^infty12^j =;1
porque faz com que o produto seja pelo menos . Então
Assim

Passo 6

Juntando tudo:
e =1+1+sumk=2^infty1k! <=2+1=3
Logo .

Resposta

Para qualquer l(1+1nr)^n<= e<3, ,
logo , como queríamos.

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