Demonstre que para qualquer
é valida desigualdade
Passo 1
Beleza, a questão pede pra mostrar que, para todo
, vale
Isso envolve conteúdo de expansão pelo Teorema Binomial, comparação de séries e alguns truques de desigualdade. Vamos usar:
- Teorema Binomial para expandir
. - Estimar cada termo da expansão por
. - Mostrar que a soma
(que é ) fica abaixo de 3.
Passo 2
Pela expansão binomial,
Aqui a ideia é comparar
com 1, pra simplificar.
Passo 3
Repara que
Logo cada coeficiente da soma satisfaz
Passo 4
Então conseguimos o majorante
Até aqui mostramos
.
Passo 5
Agora falta ver que
. Como
vamos colocar a cauda da soma abaixo de 1. Note que, para
, vale
porque
faz com que o produto seja pelo menos
. Então
Assim
Passo 6
Juntando tudo:
Logo
.
Resposta
Para qualquer
,
logo
, como queríamos.