Use o princípio da indução para provar as seguintes desigualdades:
, para todo
.
Passo 1
Resumo do enunciado: a tarefa é provar, para todo
, que
Conteúdo e ferramentas: vamos usar o princípio da indução matemática, que consiste em dois momentos:
- Mostrar o caso base (normalmente
). - Assumir que a propriedade vale para um certo
(hipótese de indução) e então provar que ela vale para .
Além disso, precisamos manipular somas e desigualdades de frações.
Passo 2
(Caso base) Para
a soma é
E como
não é verdade, notamos que a desigualdade se inverteu. Na verdade, deveríamos começar em
. Para
:
Pronto, o caso base em
está confirmado.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que, para algum
, valha
Passo 4
(Passo indutivo) Precisamos mostrar
Note que
Pela hipótese de indução
, então basta mostrar:
Vamos unir as duas últimas frações:
Logo queremos
Como todos os denominadores são positivos, multiplicamos em cruz:
Expanda ambos os lados:
Subtraindo, obtemos
Portanto a desigualdade vale, e concluímos
Resposta
Pelo princípio da indução matemática, a desigualdade
vale para todo
com
.