Use o princípio da indução para provar as seguintes desigualdades:
1n+1+1n+2+1n+3+cdots+12 n>1324, para todo n in N.

Passo 1

Resumo do enunciado: a tarefa é provar, para todo 1n+1+1n+2+cdots+12n;>;1324 , que
Conteúdo e ferramentas: vamos usar o princípio da indução matemática, que consiste em dois momentos:
  1. Mostrar o caso base (normalmente ).
  2. Assumir que a propriedade vale para um certo (hipótese de indução) e então provar que ela vale para .
    Além disso, precisamos manipular somas e desigualdades de frações.

Passo 2

(Caso base) Para 11+1 ;=;12 a soma é
13 + 14 ;=;4+312 = 712 = 1424 > 1324
E como não é verdade, notamos que a desigualdade se inverteu. Na verdade, deveríamos começar em . Para :
Pronto, o caso base em está confirmado.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que, para algum S(n);=;sumk=n+1^2n1k ;>;1324 , valha

Passo 4

(Passo indutivo) Precisamos mostrar
S(n+1);=;sumk=(n+1)+1^2(n+1)1k ;=;sumk=n+2^2n+21k ;>;1324
Note que
S(n+1) = sumk=n+2^2n+21k = l(sumk=n+1^2n1kr) -1n+1 +12n+1 +12n+2 = S(n) -1n+1 +12n+1 +12n+2
Pela hipótese de indução -1n+1 ;+;12n+1 ;+;12n+2 ;>=;0 , então basta mostrar:
12n+1+12n+2 = (2n+2)+(2n+1)(2n+1)(2n+2) = 4n+3(2n+1)(2n+2)
Vamos unir as duas últimas frações:
4n+3(2n+1)(2n+2) ;>=;1n+1
Logo queremos
(4n+3),(n+1);>=;(2n+1)(2n+2)
Como todos os denominadores são positivos, multiplicamos em cruz:
LHS = (4n+3)(n+1) = 4n^2+7n+3, RHS = (2n+1)(2n+2) = 4n^2+6n+2
Expanda ambos os lados:
LHS - RHS = (4n^2+7n+3)-(4n^2+6n+2) = n+1 > 0 para todo n>=2
Subtraindo, obtemos
S(n+1)> 1324
Portanto a desigualdade vale, e concluímos

Resposta

Pelo princípio da indução matemática, a desigualdade
1n+1+1n+2+cdots+12n;>;1324
vale para todo com .

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