Calcular \oint_{c} \frac{d z}{z-3} onde C é
o círculo |z+i|=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de contorno
\oint_{C}\frac{dz}{z-3}
onde C é o círculo \lvert z + i\rvert = 4. Vamos usar o Teorema dos Resíduos para isso.

Passo 2

A função
f(z)=\frac{1}{z-3}
tem um único polo simples em z=3. Em pólos simples, o resíduo é
\Res\bigl(f,z_0\bigr)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)\,f(z).

Passo 3

Verificamos se o polo z=3 está dentro de C calculando a distância entre 3 e o centro do círculo -i:
\bigl|3-(-i)\bigr|=\lvert 3+i\rvert=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}<4.
Como \sqrt{10}<4, o polo está dentro de C.

Passo 4

Calculamos o resíduo em z=3:
\Res\bigl(f,3\bigr) =\lim_{z\to3}(z-3)\frac{1}{z-3} =1.

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{C}\frac{dz}{z-3} =2\pi i\sum_{\text{resíduos dentro de }C} =2\pi i\cdot1 =2\pi i.í

Resposta

\displaystyle 2\pi i

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