Calcule \frac{1}{2 \pi i} \oint_{c} \frac{e^{z t}}{\left(z{2}+1\right){2}} dz, se t>0 e C é o círculo |z|=3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{e^{z t}}{(z^{2}+1)^{2}}\,dz
onde t>0 e C é o círculo \lvert z\rvert=3.
Como todas as singularidades de \frac{e^{z t}}{(z^{2}+1)^{2}} (em z=\pm i) estão dentro de C, vamos usar o Teorema dos Resíduos. Precisamos achar as singularidades de segunda ordem em z=\pm i e calcular suas residuais.

Passo 2

Identificamos que z^{2}+1=(z-i)(z+i), logo há um polo de ordem 2 em z=i e outro de ordem 2 em z=-i.

Passo 3

Para um polo de ordem 2 em z_{0}, a fórmula do resíduo é
\Res(f,z_{0}) =\frac{1}{1!}\,\left.\frac{d}{dz}\Bigl[(z-z_{0})^{2}f(z)\Bigr]\right|_{z=z_{0}}.

Passo 4

Calcular \Res em z=i. Defina
h(z)=\frac{e^{z t}}{(z+i)^{2}},
pois (z-i)^{2}f(z)=h(z). Então
\Res(f,i) =\left.\frac{d}{dz}h(z)\right|_{z=i} =\left.\frac{d}{dz}\Bigl[e^{z t}(z+i)^{-2}\Bigr]\right|_{z=i}.
Fazendo a derivada,
h'(z) =t\frac{e^{z t}}{(z+i)^{2}} -2\frac{e^{z t}}{(z+i)^{3}}.
Em z=i temos z+i=2i, então
\Res(f,i) =t\frac{e^{i t}}{(2i)^{2}} -2\frac{e^{i t}}{(2i)^{3}} =-\frac{t}{4}e^{i t}+\frac{1}{4i}e^{i t} =e^{i t}\Bigl(-\tfrac{t}{4}+\tfrac{1}{4i}\Bigr).

Passo 5

Calcular \Res em z=-i. Defina
k(z)=\frac{e^{z t}}{(z-i)^{2}},
pois (z+i)^{2}f(z)=k(z). Então
\Res(f,-i) =\left.\frac{d}{dz}k(z)\right|_{z=-i} =\left.\frac{d}{dz}\Bigl[e^{z t}(z-i)^{-2}\Bigr]\right|_{z=-i}.
Derivando,
k'(z) =t\frac{e^{z t}}{(z-i)^{2}} -2\frac{e^{z t}}{(z-i)^{3}}.
Em z=-i temos z-i=-2i, logo
\Res(f,-i) =t\frac{e^{-i t}}{(-2i)^{2}} -2\frac{e^{-i t}}{(-2i)^{3}} =-\frac{t}{4}e^{-i t}-\frac{1}{4i}e^{-i t} =e^{-i t}\Bigl(-\tfrac{t}{4}-\tfrac{1}{4i}\Bigr).

Passo 6

Somamos as duas residuais e usamos o Teorema dos Resíduos:
\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}f(z)\,dz =\Res(f,i)+\Res(f,-i).
Somando,
\Res(f,i)+\Res(f,-i) =-\tfrac{t}{4}(e^{i t}+e^{-i t}) +\tfrac{1}{4i}(e^{i t}-e^{-i t}).
Mas e^{i t}+e^{-i t}=2\cos t e e^{i t}-e^{-i t}=2i\sin t, então
\Res(f,i)+\Res(f,-i) =-\tfrac{t}{4}\cdot2\cos t+\tfrac{1}{4i}\cdot2i\sin t =-\tfrac{t}{2}\cos t+\tfrac{1}{2}\sin t.

Resposta

\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{e^{z t}}{(z^{2}+1)^{2}}\,dz =\frac{1}{2}\bigl(\sin t - t\cos t\bigr).

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