Calcule \frac{1}{2 \pi i} \oint_{c} \frac{e^{z t}}{\left(z{2}+1\right){2}} dz, se t>0 e C é o círculo |z|=3.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é o círculo
.
Como todas as singularidades de (em
) estão dentro de
, vamos usar o Teorema dos Resíduos. Precisamos achar as singularidades de segunda ordem em
e calcular suas residuais.
Como todas as singularidades de
Passo 2
Identificamos que
, logo há um polo de ordem 2 em
e outro de ordem 2 em
.
Passo 3
Para um polo de ordem 2 em
, a fórmula do resíduo é
Passo 4
Calcular
em
. Defina
pois
. Então
Fazendo a derivada,
Em
temos
, então
Passo 5
Calcular
em
. Defina
pois
. Então
Derivando,
Em
temos
, logo
Passo 6
Somamos as duas residuais e usamos o Teorema dos Resíduos:
Somando,
Mas
e
, então