Calcular
onde C é o círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha:
ao longo do círculo
definido por
. Isso está relacionado a cálculo de integrais de linha e, mais especificamente, ao Teorema de Green, que ajuda a transformar integrais de contorno em integrais duplas sobre a região interna.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se podemos usar o Teorema de Green aqui. O Teorema de Green diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
delimitada por
de:
Então, vamos identificar
e
no nosso problema:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão para a integral dupla fica:
Passo 4
Com isso, a integral original se transforma em:
Isso significa que precisamos calcular a área da região
, que é o interior do círculo
. Sabemos que a área de um círculo é
. Aqui, o raio
é 4, já que
.
Passo 5
Calculando a área:
Então, a integral de linha original vale
.