Calcular
oint(2 y+e^cos x) d x+(3 x+raizy^2+5) d y onde C é o círculo x^2+y^2=16.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha:
oint(2 y+e^cos x) dx+(3 x+raizy^2+5) dy
ao longo do círculo C definido por x^2+y^2=16 . Isso está relacionado a cálculo de integrais de linha e, mais especificamente, ao Teorema de Green, que ajuda a transformar integrais de contorno em integrais duplas sobre a região interna.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se podemos usar o Teorema de Green aqui. O Teorema de Green diz que para um campo vetorial F = P,i + Q,j , a integral de linha ao redor de uma curva fechada C é igual à integral dupla sobre a região D delimitada por C de:
partial Qpartial x - partial Ppartial y
Então, vamos identificar P e Q no nosso problema:
P = 2y + e^cos x
Q = 3x + raizy^2 + 5

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(3x + raizy^2 + 5) = 3 + 0 = 3
partial Ppartial y = partialpartial y(2y + e^cos x) = 2 + 0 = 2
Então, a expressão para a integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3 - 2 = 1

Passo 4

Com isso, a integral original se transforma em:
integral duplaD 1 , dA
Isso significa que precisamos calcular a área da região D , que é o interior do círculo x^2+y^2=16 . Sabemos que a área de um círculo é pi r^2 . Aqui, o raio r é 4, já que 16 = 4^2 .

Passo 5

Calculando a área:
Área = pi times 4^2 = 16pi Á
Então, a integral de linha original vale 16pi .

Resposta

16pi

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