Considere o campo vetorial
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao mover uma partícula sobre a curva
cuja equação vetorial é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o trabalho realizado por um campo vetorial
ao mover uma partícula ao longo de uma curva
definida pela equação vetorial
para
entre 0 e 1.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. Vamos seguir passo a passo para entender melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. A fórmula geral é:
Isso significa que vamos integrar o produto escalar do campo vetorial
com o diferencial de posição
ao longo da curva
.
Passo 3
Para fazer isso, precisamos parametrizar o campo vetorial
em termos de
, já que a curva
está definida por
. Primeiro, vamos substituir as componentes de
na expressão de
.
Dada
, temos:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando as potências:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial
. Para isso, derivamos
em relação a
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando cada termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então, o produto escalar fica:
Passo 6
Agora, precisamos integrar essa expressão de
a
para encontrar o trabalho:
Para facilitar a integração, vamos simplificar a expressão dentro do integral:
Observe que
, então podemos fatorar
:
Agora, vamos simplificar dentro dos parênteses:
Então, o integral fica:
Passo 7
Agora, vamos expandir
:
Substituindo de volta no integral:
Vamos multiplicar os termos:
Simplificando cada termo:
Agora, combinando termos semelhantes:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Usando a regra de integração
, temos:
Simplificando cada termo:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo vetorial
ao mover a partícula ao longo da curva
é
unidades de trabalho.