Considere o campo vetorial
F(x, y)=x^2 y^3 i+x^3 y^2
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial F ao mover uma partícula sobre a curva C cuja equação vetorial é:
r(t)=(raizt, 1+t^3), t in[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o trabalho realizado por um campo vetorial F(x, y) = x^2 y^3 i + x^3 y^2 j ao mover uma partícula ao longo de uma curva C definida pela equação vetorial r(t) = (raizt, 1 + t^3) para t entre 0 e 1.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. Vamos seguir passo a passo para entender melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. A fórmula geral é:
Trabalho = integralC F cdot dr
Isso significa que vamos integrar o produto escalar do campo vetorial F com o diferencial de posição dr ao longo da curva C.

Passo 3

Para fazer isso, precisamos parametrizar o campo vetorial F em termos de t, já que a curva C está definida por r(t). Primeiro, vamos substituir as componentes de r(t) na expressão de F.
Dada r(t) = (raizt, 1 + t^3), temos:
  • x = raizt
  • y = 1 + t^3
Substituindo na expressão de F:
F(x, y) = (raizt)^2 (1 + t^3)^3 i + (raizt)^3 (1 + t^3)^2 j
Simplificando as potências:
F(t) = t (1 + t^3)^3 i + t^3/2 (1 + t^3)^2 j

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial dr. Para isso, derivamos r(t) em relação a t:
drdt = (ddt raizt, ddt (1 + t^3)) = (12 t^-1/2, 3 t^2)
Então,
dr = (12 t^-1/2, 3 t^2) dt

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F(t) cdot dr:
F(t) cdot dr = [ t (1 + t^3)^3 ] ( 12 t^-1/2 ) + [ t^3/2 (1 + t^3)^2 ] ( 3 t^2 )
Simplificando cada termo:
Para o primeiro termo:
t cdot 12 t^-1/2 = 12 t^1 - 1/2 = 12 t^1/2
Para o segundo termo:
t^3/2 cdot 3 t^2 = 3 t^3/2 + 2 = 3 t^7/2
Então, o produto escalar fica:
F(t) cdot dr = 12 t^1/2 (1 + t^3)^3 + 3 t^7/2 (1 + t^3)^2

Passo 6

Agora, precisamos integrar essa expressão de t = 0 a t = 1 para encontrar o trabalho:
Trabalho = integral0^1 [ 12 t^1/2 (1 + t^3)^3 + 3 t^7/2 (1 + t^3)^2 ] dt
Para facilitar a integração, vamos simplificar a expressão dentro do integral:
Observe que (1 + t^3)^3 = (1 + t^3)^2 (1 + t^3), então podemos fatorar (1 + t^3)^2:
Trabalho = integral0^1 (1 + t^3)^2 ( 12 t^1/2 (1 + t^3) + 3 t^7/2 ) dt
Agora, vamos simplificar dentro dos parênteses:
12 t^1/2 (1 + t^3) + 3 t^7/2 = 12 t^1/2 + 12 t^7/2 + 3 t^7/2 = 12 t^1/2 + 72 t^7/2
Então, o integral fica:
Trabalho = integral0^1 (1 + t^3)^2 ( 12 t^1/2 + 72 t^7/2 ) dt

Passo 7

Agora, vamos expandir (1 + t^3)^2:
(1 + t^3)^2 = 1 + 2 t^3 + t^6
Substituindo de volta no integral:
Trabalho = integral0^1 (1 + 2 t^3 + t^6) ( 12 t^1/2 + 72 t^7/2 ) dt
Vamos multiplicar os termos:
= integral0^1 [ 12 t^1/2 + 72 t^7/2 + 2 t^3 cdot 12 t^1/2 + 2 t^3 cdot 72 t^7/2 + t^6 cdot 12 t^1/2 + t^6 cdot 72 t^7/2 ] dt
Simplificando cada termo:
= integral0^1 [ 12 t^1/2 + 72 t^7/2 + t^7/2 + 7 t^13/2 + 12 t^13/2 + 72 t^19/2 ] dt
Agora, combinando termos semelhantes:
= integral0^1 [ 12 t^1/2 + (72 + 1) t^7/2 + (7 + 12) t^13/2 + 72 t^19/2 ] dt
= integral0^1 [ 12 t^1/2 + 92 t^7/2 + 152 t^13/2 + 72 t^19/2 ] dt

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Trabalho = 12 integral0^1 t^1/2 dt + 92 integral0^1 t^7/2 dt + 152 integral0^1 t^13/2 dt + 72 integral0^1 t^19/2 dt
Usando a regra de integração integral t^n dt = t^n+1n+1, temos:
= 12 [ t^3/23/2 ]0^1 + 92 [ t^9/29/2 ]0^1 + 152 [ t^15/215/2 ]0^1 + 72 [ t^21/221/2 ]0^1
Simplificando cada termo:
= 12 cdot 23 (1^3/2 - 0) + 92 cdot 29 (1^9/2 - 0) + 152 cdot 215 (1^15/2 - 0) + 72 cdot 221 (1^21/2 - 0)
= 13 + 1 + 1 + 721
= 13 + 1 + 1 + 13
= 13 + 13 + 2
= 23 + 2 = 83

Resposta

O trabalho realizado pelo campo vetorial F ao mover a partícula ao longo da curva C é 83 unidades de trabalho.

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