Determine o rotacional (rot F) e o divergente (div F) do campo vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve encontrar o rotacional e o divergente de um campo vetorial. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com operações em campos vetoriais como o rotacional (
) e o divergente (
). Para isso, vamos precisar lembrar como calcular essas duas operações usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o campo vetorial
para facilitar a visualização:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos começar calculando o rotacional de
, que é denotado por
. O rotacional de um campo vetorial em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos identificar
,
e
a partir de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
-
(pois não há em ). -
. -
(pois não há em ). -
. -
(pois não há em ). -
.
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o divergente de
, que é denotado por
. O divergente em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
(pois não há em ). -
(pois não há em ). -
(pois não há em ).
Passo 7
Somando essas derivadas:
Resposta
O rotacional de
é:
E o divergente de
é: