Determine o rotacional (rot F) e o divergente (div F) do campo vetorial.
F(x, y, z)=(1+1y) i+(2+1z) j+(3+1x) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve encontrar o rotacional e o divergente de um campo vetorial. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com operações em campos vetoriais como o rotacional ( nabla times F) e o divergente ( nabla cdot F). Para isso, vamos precisar lembrar como calcular essas duas operações usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o campo vetorial F para facilitar a visualização:
F(x, y, z) = (1 + 1y) , i + (2 + 1z) , j + (3 + 1x) , k
Aqui, i , j e k são os vetores unitários nas direções x , y e z , respectivamente.

Passo 3

Vamos começar calculando o rotacional de F , que é denotado por nabla times F . O rotacional de um campo vetorial em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos identificar Fx , Fy e Fz a partir de F(x, y, z) :
Fx = 1 + 1y, Fy = 2 + 1z, Fz = 3 + 1x

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
  1. partial Fzpartial y = partialpartial y(3 + 1x) = 0 (pois não há y em Fz ).
  2. partial Fypartial z = partialpartial z(2 + 1z) = -1z^2 .
  3. partial Fxpartial z = partialpartial z(1 + 1y) = 0 (pois não há z em Fx ).
  4. partial Fzpartial x = partialpartial x(3 + 1x) = -1x^2 .
  5. partial Fypartial x = partialpartial x(2 + 1z) = 0 (pois não há x em Fy ).
  6. partial Fxpartial y = partialpartial y(1 + 1y) = -1y^2 .

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
nabla times F = (0 - (-1z^2)) i + (0 - (-1x^2)) j + (0 - (-1y^2)) k
Simplificando:
nabla times F = 1z^2 , i + 1x^2 , j + 1y^2 , k

Passo 6

Agora, vamos calcular o divergente de F , que é denotado por nabla cdot F . O divergente em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial Fxpartial x = partialpartial x(1 + 1y) = 0 (pois não há x em Fx ).
  2. partial Fypartial y = partialpartial y(2 + 1z) = 0 (pois não há y em Fy ).
  3. partial Fzpartial z = partialpartial z(3 + 1x) = 0 (pois não há z em Fz ).

Passo 7

Somando essas derivadas:
nabla cdot F = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

O rotacional de F é:
nabla times F = 1z^2 , i + 1x^2 , j + 1y^2 , k
E o divergente de F é:
nabla cdot F = 0

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