Considere o campo vetorial
F(x, y)=x^2 y^3 i+x^3 y^2
Verifique que F é um cmapo vetorial conservativo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido por
F(x, y) = x^2 y^3 i + x^3 y^2 j
e precisamos verificar se esse campo é conservativo. Um campo vetorial conservativo possui uma função potencial, ou seja, existe uma função phi(x, y) tal que F = nabla phi . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as condições para que um campo seja conservativo.

Passo 2

Para verificar se o campo F é conservativo, usamos uma condição importante em cálculo vetorial: em duas dimensões, se F = M(x, y) i + N(x, y) j , então F é conservativo se e somente se
partial Mpartial y = partial Npartial x
onde M(x, y) = x^2 y^3 e N(x, y) = x^3 y^2 .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, calculemos partial Mpartial y :
partial Mpartial y = partialpartial y(x^2 y^3) = x^2 cdot 3y^2 = 3x^2 y^2
Em seguida, calculemos partial Npartial x :
partial Npartial x = partialpartial x(x^3 y^2) = 3x^2 y^2

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas que calculamos:
partial Mpartial y = 3x^2 y^2
partial Npartial x = 3x^2 y^2
Observamos que:
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 5

Como as derivadas parciais são iguais, de acordo com a condição mencionada no Passo 2, podemos concluir que o campo vetorial F é conservativo.

Resposta

O campo vetorial F(x, y) = x^2 y^3 i + x^3 y^2 j é conservativo.

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