Considere o campo vetorial
Verifique que
é um cmapo vetorial conservativo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido por
e precisamos verificar se esse campo é conservativo. Um campo vetorial conservativo possui uma função potencial, ou seja, existe uma função
tal que
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as condições para que um campo seja conservativo.
Passo 2
Para verificar se o campo
é conservativo, usamos uma condição importante em cálculo vetorial: em duas dimensões, se
, então
é conservativo se e somente se
onde
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, calculemos
:
Em seguida, calculemos
:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas que calculamos:
Observamos que:
Passo 5
Como as derivadas parciais são iguais, de acordo com a condição mencionada no Passo 2, podemos concluir que o campo vetorial
é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo.