Calcule
em que
é a superfície
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície de
sobre a superfície
, que é definida por
, com
variando de 0 a 2 e
de 0 a 1. Isso está dentro do estudo de cálculo de integrais de superfície, que envolve entender como integrar funções sobre superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a fórmula da integral de superfície e derivar algumas expressões com derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral de superfície de uma função
sobre uma superfície
dada por
, a fórmula fica:
Aqui,
é a região no plano
sobre a qual
está projetada.
Passo 3
No nosso caso,
e
. Então, primeiro vamos achar as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do integrando:
Passo 5
Então, a integral de superfície fica:
Como
é o retângulo definido por
e
, a gente pode separar a integral em duas partes:
Passo 6
Observe que a integral em
é simples, pois a função não depende de
. Então, integrando em
:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Para resolver essa integral em
, vamos fazer uma substituição. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, integramos
:
Voltando para
:
Passo 9
Agora, avaliamos de
a
:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 10
Simplificando:
Então, a diferença é:
Resposta
Portanto, o valor da integral de superfície é: