Calcule integralegral duplaS x d S em que S é a superfície z=x^2+y, 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície de x sobre a superfície S , que é definida por z = x^2 + y , com x variando de 0 a 2 e y de 0 a 1. Isso está dentro do estudo de cálculo de integrais de superfície, que envolve entender como integrar funções sobre superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a fórmula da integral de superfície e derivar algumas expressões com derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral de superfície de uma função f(x, y, z) sobre uma superfície S dada por z = g(x, y) , a fórmula fica:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral duplaD f(x, y, g(x, y)) raiz1 + (partial gpartial x)^2 + (partial gpartial y)^2 , dx , dy
Aqui, D é a região no plano xy sobre a qual S está projetada.

Passo 3

No nosso caso, f(x, y, z) = x e g(x, y) = x^2 + y . Então, primeiro vamos achar as derivadas parciais de g :
partial gpartial x = 2x e partial gpartial y = 1

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do integrando:
raiz1 + (2x)^2 + (1)^2 = raiz1 + 4x^2 + 1 = raiz2 + 4x^2

Passo 5

Então, a integral de superfície fica:
integral duplaS x , dS = integral duplaD x raiz2 + 4x^2 , dx , dy
Como D é o retângulo definido por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1 , a gente pode separar a integral em duas partes:
integral0^2 integral0^1 x raiz2 + 4x^2 , dy , dx

Passo 6

Observe que a integral em y é simples, pois a função não depende de y . Então, integrando em y :
integral0^1 dy = 1
Portanto, a integral fica:
integral0^2 x raiz2 + 4x^2 , dx

Passo 7

Para resolver essa integral em x , vamos fazer uma substituição. Seja:
u = 2 + 4x^2 Rightarrow dudx = 8x Rightarrow dx = du8x
Substituindo na integral:
integral x raizu cdot du8x = 18 integral raizu , du

Passo 8

Agora, integramos raizu :
18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C
Voltando para x :
112 (2 + 4x^2)^3/2

Passo 9

Agora, avaliamos de x = 0 a x = 2 :
112 (2 + 4x^2)^3/2 |0^2 = 112 [ (2 + 4(2)^2)^3/2 - (2 + 4(0)^2)^3/2 ]
Calculando cada termo:
2 + 4(2)^2 = 2 + 16 = 18 Rightarrow 18^3/2 = raiz18^3 = raiz5832 = 18 raiz18
2 + 4(0)^2 = 2 Rightarrow 2^3/2 = raiz8 = 2 raiz2
Então:
112 [18 raiz18 - 2 raiz2]

Passo 10

Simplificando:
112 cdot 18 raiz18 = 1812 raiz18 = 32 cdot 3 raiz2 = 92 raiz2
112 cdot 2 raiz2 = 212 raiz2 = 16 raiz2
Então, a diferença é:
92 raiz2 - 16 raiz2 = ( 276 - 16 ) raiz2 = 266 raiz2 = 133 raiz2

Resposta

Portanto, o valor da integral de superfície é:
integral duplaS x , dS = 133 raiz2

Exercícios relacionados