Calcular
integralC x y d s
onde C é a interseção das superfícies x^2+y^2=1 no plano x+z=4.

Passo 1

E aí! Vamos resolver a integral de linha integralC x y , ds , onde C é a interseção das superfícies x^2 + y^2 = 1 e o plano x + z = 4 . Isso está no campo de cálculo de integrais de linha, especificamente envolvendo curvas definidas pela interseção de superfícies. Para resolver, precisamos parametrizar a curva C , calcular o elemento de arco ds e então integrar a função x y ao longo dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva C . Ela é a interseção de um cilindro circular x^2 + y^2 = 1 com o plano x + z = 4 . Para parametrizar C , podemos usar coordenadas trigonométricas para x e y . Vamos definir:
x = cos theta e y = sin theta
onde theta varia de 0 a 2pi .

Passo 3

Agora, usando a equação do plano x + z = 4 , podemos expressar z em termos de x :
z = 4 - x = 4 - cos theta
Então, a parametrização completa da curva C fica:
r(theta) = ( cos theta, sin theta, 4 - cos theta )
com theta variando de 0 a 2pi .

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular ds , o elemento de arco ao longo da curva. Para isso, derivamos r(theta) em relação a theta :
r,'(theta) = ( -sin theta, cos theta, sin theta )
O comprimento desse vetor derivado é:
|r,'(theta)| = raiz(-sin theta)^2 + (cos theta)^2 + (sin theta)^2 = raizsin^2 theta + cos^2 theta + sin^2 theta = raiz1 + sin^2 theta
Então, temos:
ds = |r,'(theta)| , dtheta = raiz1 + sin^2 theta , dtheta

Passo 5

Agora, substituímos x = cos theta , y = sin theta e ds = raiz1 + sin^2 theta , dtheta na integral original:
integralC x y , ds = integral0^2pi cos theta cdot sin theta cdot raiz1 + sin^2 theta , dtheta

Resposta

A integral que precisamos calcular é:
integral0^2pi cos theta cdot sin theta cdot raiz1 + sin^2 theta , dtheta
Essa expressão representa a solução para a integral de linha proposta.

Exercícios relacionados