Calcular
onde C é a interseção das superfícies
no plano
.
Passo 1
E aí! Vamos resolver a integral de linha
, onde
é a interseção das superfícies
e o plano
. Isso está no campo de cálculo de integrais de linha, especificamente envolvendo curvas definidas pela interseção de superfícies. Para resolver, precisamos parametrizar a curva
, calcular o elemento de arco
e então integrar a função
ao longo dessa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva
. Ela é a interseção de um cilindro circular
com o plano
. Para parametrizar
, podemos usar coordenadas trigonométricas para
e
. Vamos definir:
onde
varia de
a
.
Passo 3
Agora, usando a equação do plano
, podemos expressar
em termos de
:
Então, a parametrização completa da curva
fica:
com
variando de
a
.
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular
, o elemento de arco ao longo da curva. Para isso, derivamos
em relação a
:
O comprimento desse vetor derivado é:
Então, temos:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na integral original:
Resposta
A integral que precisamos calcular é:
Essa expressão representa a solução para a integral de linha proposta.