Se f é uma função monótona e limitada definida sobre um intervalo I então ela só pode ter descontinuidades de tipo salto.
Dê um contraexemplo para a afirmação falsa e modifique as hipóteses para que ela se torne verdadeira. Não é necessário provar essa nova afirmação verdadeira.

Passo 1

O enunciado original afirma que
“Se f é monótona e limitada definida sobre um intervalo I então ela só pode ter descontinuidades de salto.”
Porém, existe uma função monótona definida num intervalo que tem uma descontinuidade que não é de salto (é um “salto infinito” ou “assimptótica”), mostrando que a simples monotonicidade não basta para garantir apenas saltos finitos.

Passo 2

Contraexemplo:
Defina
fcolonl(-tfracpi2,tfracpi2r)toR, f(x)=tan(x)
  1. f é estritamente crescente em l(-tfracpi2,tfracpi2r), logo é monótona.
  2. Em xtotfracpi2^- ou xto-tfracpi2^+, tan(x)topminfty. Portanto, f tem uma descontinuidade em x=pmtfracpi2 não do tipo salto finito, mas uma “descontinuidade vertical” (salto infinito).
  3. Note que aqui f não é limitada, e é exatamente essa falta de limitação que permite o salto infinito.

Passo 3

Analisando o contraexemplo, vemos que a hipótese que falta para eliminar saltos infinitos é justamente a limitação de f. Se f for também limitada, não há como aparecer salto infinito, e as únicas descontinuidades possíveis são saltos finitos (saltos de tipo I).

Passo 4

Portanto, a afirmação corrigida (agora verdadeira) é:
Se f é monótona e limitada definida sobre um intervalo IsubseteqR, então todas as descontinuidades de f em I são descontinuidades de salto (finito).

Resposta

Contraexemplo:
f(x)=tan(x)em l(-tfracpi2,tfracpi2r)
(é monótona mas tem salto infinito em x=pmpi/2, e não é limitada).
Afirmação verdadeira (hipóteses ajustadas):
Se fcolon ItoR é monótona e limitada num intervalo I, então só pode ter descontinuidades de salto finito.

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