Se
é uma função monótona e limitada definida sobre um intervalo
então ela só pode ter descontinuidades de tipo salto.
Dê um contraexemplo para a afirmação falsa e modifique as hipóteses para que ela se torne verdadeira. Não é necessário provar essa nova afirmação verdadeira.
Dê um contraexemplo para a afirmação falsa e modifique as hipóteses para que ela se torne verdadeira. Não é necessário provar essa nova afirmação verdadeira.
Passo 1
O enunciado original afirma que
“Se é monótona e limitada definida sobre um intervalo
então ela só pode ter descontinuidades de salto.”
Porém, existe uma função monótona definida num intervalo que tem uma descontinuidade que não é de salto (é um “salto infinito” ou “assimptótica”), mostrando que a simples monotonicidade não basta para garantir apenas saltos finitos.
“Se
Porém, existe uma função monótona definida num intervalo que tem uma descontinuidade que não é de salto (é um “salto infinito” ou “assimptótica”), mostrando que a simples monotonicidade não basta para garantir apenas saltos finitos.
Passo 2
Contraexemplo:
Defina
Defina
-
é estritamente crescente em , logo é monótona. - Em
ou , . Portanto, tem uma descontinuidade em não do tipo salto finito, mas uma “descontinuidade vertical” (salto infinito). - Note que aqui
não é limitada, e é exatamente essa falta de limitação que permite o salto infinito.
Passo 3
Analisando o contraexemplo, vemos que a hipótese que falta para eliminar saltos infinitos é justamente a limitação de
. Se
for também limitada, não há como aparecer salto infinito, e as únicas descontinuidades possíveis são saltos finitos (saltos de tipo I).
Passo 4
Portanto, a afirmação corrigida (agora verdadeira) é:
Se
é monótona e limitada definida sobre um intervalo
, então todas as descontinuidades de
em
são descontinuidades de salto (finito).
Resposta
Contraexemplo:
(é monótona mas tem salto infinito em
, e não é limitada).
Afirmação verdadeira (hipóteses ajustadas):
Se
é monótona e limitada num intervalo
, então só pode ter descontinuidades de salto finito.