Se f é uma função monótona e limitada definida sobre um intervalo I então ela só pode ter descontinuidades de tipo salto.
Demonstre a afirmação verdadeira.

Passo 1

Resumo do enunciado e do que vamos usar
Temos uma função f definida num intervalo I que é monotona (aumentante ou decrescente) e limitada. Queremos mostrar que, em qualquer ponto x0in I, os limites laterais
f(x0^-)=limxto x0^-f(x) e f(x0^+)=limxto x0^+f(x)
existem e são finitos. Dessa forma, a única possibilidade de descontinuidade é que esses dois valores não coincidam, ou seja, descontinuidade de salto.

Passo 2

Existência do limite lateral à esquerda em um ponto interior
Se x0 não for extremidade de I, considere o conjunto
A = lf(x)mid x<x0r
Como f é monotona e limitada em I, o conjunto A é não vazio e limitado, logo sup A existe e é finito. Definimos
L = sup A
Para qualquer sequência (xn) com xn<x0 e xnto x0, pela monotonia f(xn) é monotônica e limitada acima por L, portanto
limntoinftyf(xn)=L
Isso mostra que
f(x0^-)=limxto x0^-f(x)=L
existe e é finito.

Passo 3

Existência do limite lateral à direita em um ponto interior
Analogamente, considere
B = lf(x)mid x>x0r
Pelo mesmo argumento, B é não vazio e limitado, logo inf B (se f é cres­cente) ou sup B (se f é decrescente) existe e é finito. Chamando esse valor de M, para toda sequência (yn) com yn>x0 e ynto x0 temos
limntoinftyf(yn)=M
e assim
f(x0^+)=limxto x0^+f(x)=M
existe e é finito.

Passo 4

Conclusão sobre o tipo de descontinuidade
Como em todo ponto x0 os limites laterais f(x0^-) e f(x0^+) existem e são finitos, não pode haver descontinuidade essencial nem infinita. A única situação em que f falha em ser contínua em x0 é quando
f(x0^-)neq f(x0^+),
isto é, ocorre um salto de tamanho l|f(x0^+)-f(x0^-)r|.

Passo 5

Observação sobre as extremidades de I
Se x0 for extremidade de I, procede-se do mesmo modo para o único limite lateral existente (esquerdo ou direito). Logo, mesmo aí não há outro tipo de descontinuidade além de salto.

Resposta

Mostramos que em todo ponto de I existem limites laterais finitos, de modo que qualquer descontinuidade de f só pode ser de salto.

Exercícios relacionados