Se é uma função monótona e limitada definida sobre um intervalo então ela só pode ter descontinuidades de tipo salto.
Demonstre a afirmação verdadeira.
Passo 1
Resumo do enunciado e do que vamos usar
Temos uma função definida num intervalo que é monotona (aumentante ou decrescente) e limitada. Queremos mostrar que, em qualquer ponto , os limites laterais e
existem e são finitos. Dessa forma, a única possibilidade de descontinuidade é que esses dois valores não coincidam, ou seja, descontinuidade de salto.
Passo 2
Existência do limite lateral à esquerda em um ponto interior
Se não for extremidade de , considere o conjunto
Como é monotona e limitada em , o conjunto é não vazio e limitado, logo existe e é finito. Definimos
Para qualquer sequência com e , pela monotonia é monotônica e limitada acima por , portanto
Isso mostra que
existe e é finito.
Passo 3
Existência do limite lateral à direita em um ponto interior
Analogamente, considere
Pelo mesmo argumento, é não vazio e limitado, logo (se é crescente) ou (se é decrescente) existe e é finito. Chamando esse valor de , para toda sequência com e temos
e assim
existe e é finito.
Passo 4
Conclusão sobre o tipo de descontinuidade
Como em todo ponto os limites laterais e existem e são finitos, não pode haver descontinuidade essencial nem infinita. A única situação em que falha em ser contínua em é quando
isto é, ocorre um salto de tamanho .
Passo 5
Observação sobre as extremidades de I
Se x0 for extremidade de I, procede-se do mesmo modo para o único limite lateral existente (esquerdo ou direito). Logo, mesmo aí não há outro tipo de descontinuidade além de salto.
Resposta
Mostramos que em todo ponto de I existem limites laterais finitos, de modo que qualquer descontinuidade de f só pode ser de salto.