Calcule a integral de linha:
integralC x y d x+x^2 d y
onde C é o caminho poligonal que une os pontos: (2,1) com (3,1) e (3,4).

Passo 1

Então, a gente tem que calcular uma integral de linha, que é basicamente somar os valores de uma função ao longo de um caminho específico. A função que vamos integrar é x y , dx + x^2 , dy , e o caminho C é formado por dois segmentos de reta: o primeiro de (2,1) para (3,1) e o segundo de (3,1) para (3,4). Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar ao longo de caminhos diferentes e somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o caminho C em dois segmentos:
  1. Segmento 1: De (2,1) para (3,1)
  2. Segmento 2: De (3,1) para (3,4)
Vamos calcular a integral em cada segmento separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Calculando a integral no Segmento 1 ([C_1)) de para :
Nesse segmento, a y é constante e igual a 1. Então, . A parametrização pode ser feita definindo como a variável que varia de 2 a 3.
Então, .
A integral fica:
Integrando:

Passo 4

Calculando a integral no Segmento 2 ([C_2)) de para :
Nesse segmento, o x é constante e igual a 3. Então, . A parametrização pode ser feita definindo como a variável que varia de 1 a 4.
Então, .
A integral fica:
Integrando:

Resposta

Somando as integrais dos dois segmentos:
52 + 27 = 52 + 542 = 592 = 29,5
Portanto, o valor da integral de linha é 29,5.

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