Justifique sua resposta.
Se f(x)=x+raiz2-x e g(u)=u+raiz2-u, é verdadeiro que f=g ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas funções:
  • $ f(x) = x + \sqrt{2 - x} $
  • $ g(u) = u + \sqrt{2 - u} $
A pergunta é: Será que $ f $ e $ g $ são a mesma função?
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função ser igual a outra. Isso envolve comparar as regras de cada função para ver se elas produzem os mesmos resultados para qualquer entrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem iguais. Duas funções são iguais se, para qualquer valor que a gente escolher como entrada, elas vão dar o mesmo resultado. Ou seja, para todo $ x $ no domínio das funções, $ f(x) = g(x) $.

Passo 3

Agora, vamos analisar as funções que temos:
  • $ f(x) = x + \sqrt{2 - x} $
  • $ g(u) = u + \sqrt{2 - u} $
Perceba que a única diferença entre elas está na letra usada para a variável: $ x $ em $ f $ e $ u $ em $ g $. Mas, nas funções, essas letras são apenas símbolos que representam o valor de entrada. O que importa mesmo é como essas entradas são transformadas pela função.

Passo 4

Vamos verificar se, substituindo $ x $ por $ u $, as funções continuam iguais. Ou seja, vamos reescrever $ g(u) $ usando $ x $ no lugar de $ u $:
$ g(x) = x + \sqrt{2 - x} $
Agora temos:
  • $ f(x) = x + \sqrt{2 - x} $
  • $ g(x) = x + \sqrt{2 - x} $
Como você pode ver, as duas funções têm exatamente a mesma expressão quando usamos a mesma variável.

Passo 5

Isso significa que, para qualquer valor que a gente escolher para $ x $, $ f(x) $ vai ser igual a $ g(x) $. Portanto, as funções são iguais em todos os pontos do domínio onde estão definidas.

Resposta

Sim, $ f $ e $ g $ são a mesma função, pois para qualquer valor de entrada, $ f(x) = g(x) $.

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