Calcular
, onde o campo vetorial é
e
é a superfície de equação
e
, com orientação para cima.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através da superfície
dada por
com orientação para cima. Isso é um integral de superfície do tipo
onde
é uma parametrização de
sobre o domínio
.
Passo 2
Parametrizamos
por
Então
O vetor normal orientado para cima é
Passo 3
Em
r(x,y) temos
z=xsin y , então
O produto escalar com o normal é
Portanto o fluxo é
Passo 4
Integramos primeiro em
x :
Calculando cada integral:
integral0^2x,dx=2 ,
integral0^2x^3,dx=4 . Assim o resultado em função de
y é
Passo 5
Agora integramos em
y :
Para
usamos
sin^2y=(1-cos2y)/2 e partes.
Para
Para
pois é integral de
sin2y num período.
Para
Para
Somando dá