Calcular integral duplaS F d S, onde o campo vetorial é F(x, y, z)=(y z, z x, x y) e S é a superfície de equação z=x sen(y) com 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= pi, com orientação para cima.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo F(x,y,z)=(yz,,zx,,xy) através da superfície S dada por
z = xsin y, 0<= x<=2,;0<= y<=pi,
com orientação para cima. Isso é um integral de superfície do tipo
integral duplaSFcdot dS =integral duplaDF(r(x,y))cdotl(rxtimesryr),dx,dy,
onde r(x,y) é uma parametrização de S sobre o domínio D=[0,2]times[0,pi].

Passo 2

Parametrizamos S por
r(x,y)=l(x,;y,;xsin yr)
Então
rx=(1,,0,,sin y), ry=(0,,1,,xcos y)
O vetor normal orientado para cima é
rxtimesry = i&j&k 1&0&sin y 0&1&xcos y =(-sin y,,-xcos y,,1)

Passo 3

Em r(x,y) temos z=xsin y, então
F(r(x,y)) =l(ycdot(xsin y),;(xsin y)cdot x,;xcdot yr) =(x ysin y,;x^2sin y,;x y)
O produto escalar com o normal é
Fcdot(rxtimesry) =-x ysin ycdotsin y -x^2sin ycdot(xcos y) + x ycdot1 =-x ysin^2y -x^3sin ycos y + x y
Portanto o fluxo é
integral duplaSFcdot dS =integraly=0^piintegralx=0^2 l(-x ysin^2y -x^3sin ycos y + x yr),dx,dy

Passo 4

Integramos primeiro em x:
integral0^2l(-x ysin^2y -x^3sin ycos y + x yr),dx =-ysin^2y!integral0^2x,dx -sin ycos y!integral0^2x^3,dx +y!integral0^2x,dx
Calculando cada integral:
integral0^2x,dx=2,
integral0^2x^3,dx=4. Assim o resultado em função de y é
-2ysin^2y ;-;4sin ycos y;+;2y

Passo 5

Agora integramos em y:
integral0^pil(-2ysin^2y -4sin ycos y +2yr),dy =I1+I2+I3
Para
I1=-2integral0^pi ysin^2y,dy =-pi^22,
usamos sin^2y=(1-cos2y)/2 e partes.
Para
I2=-4integral0^pisin ycos y,dy=0
pois é integral de sin2y num período.
Para
I3=2integral0^pi y,dy=pi^2
Somando dá
I1+I2+I3=-pi^22+0+pi^2=pi^22

Resposta

integral duplaSF,dS =pi^22

Exercícios relacionados