Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F d r, onde
F(x, y, z)=(x+2 z, 3 x+y, 2 y-z)
e C é a curva de interseção do plano x+2 y+z=4 com os planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointC Fcdot d r usando o Teorema de Stokes. O campo é F(x,y,z)=(x+2z,,3x+y,,2y-z) e C é o triângulo de interseção do plano x+2y+z=4 com os planos coordenados. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz: ointC Fcdot d r=integral duplaS (nablatimes F)cdot n,dS, onde S é a superfície que tem C como contorno.

Passo 2

Começamos calculando o rotacional de F:
$$\nabla\times \mathbf F=\Bigl(\frac{\partial}{\partial y}(2y-z)-\frac{\partial}{\partial z}(3x+y),,\frac{\partial}{\partial z}(x+2z)-\frac{\partial}{\partial x}(2y-z),,\frac{\partial}{\partial x}(3x+y)-\frac{\partial}{\partial y}(x+2z)\Bigr).
$$

Passo 3

Fazendo as derivadas parciais, obtemos:
$$\nabla\times \mathbf F=(2-0,,2-0,,3-0)=(2,2,3).
$$

Passo 4

Escolhemos como superfície S o triângulo no próprio plano x+2y+z=4, parametrizado por (x,y) no domínio D do primeiro quadrante: z = 4−x−2y, com x>=0, y>=0, x+2y<=4. A parametrização é r(x,y)=(x,y,4-x-2y). Calculamos
$$\mathbf r_x=(1,0,-1),\quad \mathbf r_y=(0,1,-2),
$$ e o vetor normal orientado (com componente rx=(1,0,-1), ry=(0,1,-2), ) é
$$\mathbf r_x\times\mathbf r_y=(1,2,1).
$$

Passo 5

Assim
(nablatimes F)cdot( rxtimes ry)=(2,2,3)cdot(1,2,1)=2+4+3=9 Logo a integral de superfície fica
$$\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n,dS=\iint_D 9,dA=9\cdot (área de D).
$$

Passo 6

O domínio D é o triângulo com vértices (0,0),(4,0),(0,2), cuja área é
$$\frac{4\times2}{2}=4.
$$ Portanto o valor da integral de linha é 4times22=4 .

Resposta

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