Use o Teorema de Stokes para calcular
, onde
e
é a curva de interseção do plano
com os planos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema de Stokes. O campo é
e
é o triângulo de interseção do plano
com os planos coordenados. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz:
onde
é a superfície que tem
como contorno.
Passo 2
Começamos calculando o rotacional de
:
$$\nabla\times \mathbf F=\Bigl(\frac{\partial}{\partial y}(2y-z)-\frac{\partial}{\partial z}(3x+y),,\frac{\partial}{\partial z}(x+2z)-\frac{\partial}{\partial x}(2y-z),,\frac{\partial}{\partial x}(3x+y)-\frac{\partial}{\partial y}(x+2z)\Bigr).
$$
Passo 3
Fazendo as derivadas parciais, obtemos:
$$\nabla\times \mathbf F=(2-0,,2-0,,3-0)=(2,2,3).
$$
Passo 4
Escolhemos como superfície
o triângulo no próprio plano
, parametrizado por
no domínio
do primeiro quadrante: z = 4−x−2y, com
. A parametrização é
. Calculamos
$$\mathbf r_x=(1,0,-1),\quad \mathbf r_y=(0,1,-2),
$$ e o vetor normal orientado (com componente
) é
$$\mathbf r_x\times\mathbf r_y=(1,2,1).
$$
Passo 5
Assim
$$\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n,dS=\iint_D 9,dA=9\cdot (área de D).
$$
Passo 6
O domínio
é o triângulo com vértices
, cuja área é
$$\frac{4\times2}{2}=4.
$$ Portanto o valor da integral de linha é
.
Resposta
36