Use o Teorema de Divergência para calcular integral duplapartial W F d S, onde W é o solido delimitado pela superfície x^2+y^2=4 e os planos z=0 e z=3, e F(x, y, z)=(4 x,-2 y^2, z^2).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z) = (4x,,-2y^2,,z^2) através da superfície partial W do sólido cilíndrico
W: x^2+y^2<=4, 0<= z<=3
Usaremos o Teorema da Divergência, que afirma
integral duplapartial WFcdot dS =integral triplaWnablacdotF,dV
Precisamos calcular nablacdotF e avaliar o integral triplo em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Calculemos a divergência de F:
nablacdotF =partialpartial x(4x) +partialpartial y(-2y^2) +partialpartial z(z^2) =4 -4y +2z

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) com x=rcostheta, y=rsintheta, o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz. Logo
integral duplapartial WFcdot dS =integral0^2piintegral0^2integral0^3 l(4 -4rsintheta +2zr),r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Separemos o integrando em três parcelas:
I1=integral0^2pi!integral0^2!integral0^34r,dz,dr,dtheta, I2=integral0^2pi!integral0^2!integral0^3(-4r^2sintheta),dz,dr,dtheta, I3=integral0^2pi!integral0^2!integral0^32zr,dz,dr,dtheta

Passo 5

Calculemos I1:
I1 =integral0^2pi!dtheta integral0^2!(4rcdot3),dr =2piintegral0^212r,dr =2pil[6r^2r]0^2 =2picdot24 =48pi

Passo 6

Note que
I2 =integral0^2pisintheta,dtheta integral0^2(-4r^2cdot3),dr =0,
pois integral0^2pisintheta,dtheta=0.

Passo 7

Calculemos I3:
I3 =integral0^2pi!dtheta integral0^2rl(integral0^32z,dzr),dr =2piintegral0^2rcdot9,dr =2pil[tfrac92r^2r]0^2 =2picdot18 =36pi

Passo 8

Somando as parcelas:
integral duplapartial WFcdot dS =I1+I2+I3 =48pi+0+36pi =84pi

Resposta

84pi

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