Use o Teorema de Divergência (Gauss) para calcular o fluxo do campo vetorial
através do cubo
Passo 1
Neste problema, a ideia é usar o Teorema da Divergência (de Gauss) para transformar o fluxo de um campo vetorial pela superfície de um sólido num integral sobre o volume. O campo é F(x,y,z)=xyz(1,1,1) e o sólido D é o cubo 0≤x,y,z≤1. Vamos precisar calcular a divergência de F e depois integrar no cubo.
Passo 2
O primeiro passo é achar a divergência de F. Escrevendo F=(P,Q,R) com P(x,y,z)=xyz, Q(x,y,z)=xyz e R(x,y,z)=xyz, temos:
Passo 3
Agora, pelo Teorema da Divergência, o fluxo de F através da fronteira de D é igual a:
Passo 4
Separando o integral em três partes e usando a fatoração de integrais independentes, temos:
Passo 5
Somando as três contribuições, o fluxo total é 1/4+1/4+1/4.
Resposta
O fluxo de F através da superfície do cubo é
.