Use o Teorema de Divergência (Gauss) para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=x y z(1,1,1) através do cubo
D=(x, y, z): 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 1

Passo 1

Neste problema, a ideia é usar o Teorema da Divergência (de Gauss) para transformar o fluxo de um campo vetorial pela superfície de um sólido num integral sobre o volume. O campo é F(x,y,z)=xyz(1,1,1) e o sólido D é o cubo 0≤x,y,z≤1. Vamos precisar calcular a divergência de F e depois integrar no cubo.

Passo 2

O primeiro passo é achar a divergência de F. Escrevendo F=(P,Q,R) com P(x,y,z)=xyz, Q(x,y,z)=xyz e R(x,y,z)=xyz, temos:
nablacdot F=partial Ppartial x+partial Qpartial y+partial Rpartial z=yz+xz+xy

Passo 3

Agora, pelo Teorema da Divergência, o fluxo de F através da fronteira de D é igual a:
Phi=integral triplaD(nablacdot F),dV=integral tripla0^1!!integral0^1!!integral0^1(yz+xz+xy),dx,dy,dz

Passo 4

Separando o integral em três partes e usando a fatoração de integrais independentes, temos:
integral triplaD yz,dV=l(integral0^1dxr)l(integral0^1y,dyr)l(integral0^1z,dzr)=1cdot12cdot12=14
integral triplaD xz,dV=l(integral0^1x,dxr)l(integral0^1dyr)l(integral0^1z,dzr)=12cdot1cdot12=14
integral triplaD xy,dV=l(integral0^1x,dxr)l(integral0^1y,dyr)l(integral0^1dzr)=12cdot12cdot1=14

Passo 5

Somando as três contribuições, o fluxo total é 1/4+1/4+1/4.

Resposta

O fluxo de F através da superfície do cubo é tfrac34.

Exercícios relacionados